[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/02/27 00:05pm 第 2 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2009/02/27 10:38am 发表的内容： 0.33333... 的定义是什么？请楼主说说！你5楼的解释用了极限，为什么用极限？请解释！

定义见一楼。用极限当然是为了解决原始的加不完，确不定问题。 为了使 0.33333... 成为有确定性（不依赖时间，人物，地点），客观性（不以个人的感觉取值）的数，我用了极限。这不是我的发明，我所见过的书好像还没有与之矛盾的定义啊。 极限在这里是有限和的自然推广。加法也好，极限也好，都是运算(operator) Let integer sequence {dn} such that 0<= dn < 10, define 0.d1d2d3...dn... = lim sun_(i=1)^n (di/10^i)

顽石

数学爱好者A先生所谓的“任何两点之间永远可插入一点，但是最后一点插入不进去了”、“线段变成无穷多个点构成的连续统”、“线段中不存在任何缝隙”……等等言论，所代表的“实无穷”观点，最为典型！
中国科学院院士张景中先生的“设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截。这一刀一定会砍在某个点上，即砍中了一个实数。如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了。”那段话，代表了现行数学的“实无穷”主流观点。
我常常引用兰佐斯的潜无穷观点的一些话。但是，这位著名数学家，有时候也仍然会流露出“实无穷”和“潜无穷”混淆不清的观点。例如：
提到，无穷递增数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…，和无穷递减数列0.4，0.34，0.334，0.3334…，中间的1/3是这两个数列的极限时说：“两个数列之间的间隙就不断减少。我们应该确信，这个间隙最后必将闭合。虽然，不管我们把过程进行多久，这种情况也永远不会发生。”他的上述前半段话，就和数A的话相似，是“实无穷观”，而后半段话是“潜无穷观”了，显然是模棱两可！
兰佐斯认为：“1/3这个简单分数就不能用十进制小数表示出来”，就等于说，已经被构造完毕的“0.33333…”这样的所谓无限循环小数，其实是不存在的。或者等于说，没有构造出来。
庞加莱不承认“实无穷”，那是不存在的，只有能不断构造的，才是存在的。
布劳维尔认为：“你没有构造出来，你就不能说‘存在’”。
所谓“实无穷”是把无穷集合的总体本身作为一种现成的单位来考虑，它是已经构造完毕的东西，那只是一种武断的空想！所谓“潜无穷”是把“无穷”作为一种变化着，成长着，不断产生出来的东西来理解，它永远在构造中但永远没有构造完毕。
上述关于“实无穷”和“潜无穷”的争论，还将长期争论下去！真所谓：“相信者恒信；不信者恒不信！”

elimqiu

我发现这里的人都很执著。弄了半天也谈不到一起：原来对实数就没有一个共识。有的认为实数有连续性，有的更本不理会连续性。如果是这样，争论就没大必要：各自搞一套数系公理。何必争用已有系统的名称（实数）呢？
另外，公理系统也不是那么好伺候的：有限构造性就那么酷？对于有限小数的系统而言，2进制有限小数的集合Q2与十进制有限小数的集合Q10不相等使得"新实数系”依赖于进制。这可能造成英制国家与公制国家的战争，或者与外星人通讯的受阻。勾股定理也不能无条件地成立：
a^2+b^2=c^2 当 a=b=1 时没有“新实数”c 与之对应！
没有连续性，微积分基本定理就不成立，然后就有物理学的危机等等。继续折腾吧。
如果数系不能保证其 Cauchy 序列收敛到自己的元素（即狭义极限运算在其中不封闭），微积分就没法建立。所以有位曹先生说要干的事多着呢。这话我信。

jzkyllcjl

楼主：讨论0.333……与1/3的关系时，你和我都用了极限liman=1/3,其中an是数列0.3，0.33，0.333，……的通项，它是有n个3的有尽小数。现在我问你，无尽小数0.33……在这个求极限的问题上，它在那里出现？即它是什么？

elimqiu

下面引用由jzkyllcjl在 2009/02/27 04:41pm 发表的内容：
楼主：讨论0.333……与1/3的关系时，你和我都用了极限liman=1/3,其中an是数列0.3，0.33，0.333，……的通项，它是有n个3的有尽小数。现在我问你，无尽小数0.33……在这个求极限的问题上，它在那里出现？即它是什么？

无尽小数0.33……就是那个极限。它不一定要出现在你那个序列中。

申一言

可惜呀!可惜!
     我心目中的老师(楼主)原来也在犯糊涂!

     基础数学←→应用数学.
     微积分是个啥子?
                             对不起了老师!

顽石

所谓的“实无穷”，其实真正想表达的意思就是：已经结束了！冻结了！定局了！穷尽了！终于到达极限了！达到止境了！这不就是“有穷”吗？！
最有代表性的例子就是：“0.33333... = 1/3 ” 其中0.33333...中的 3 已经全部写出，它不是0.3，0.33，0.333，0.3333，...，这些无穷多个有限小数组成的数列，也不是一个变量，而是一个常数，就是极限1/3，无穷小数0.33333...就是极限本身！
为什么反对者们没有直截了当地老老实实地说出自己想说的话？！应该大胆地说出：“实无穷就是实有穷！”，

jzkyllcjl

楼主：你说“无尽小数0.33……就是那个极限”。那么，我问你：那个极限不是1/3吗?1/3表示那个极限已经清清楚楚了!为什么又要说是无尽小数0.33……就是那个极限呢？

elimqiu

下面引用由jzkyllcjl在 2009/02/27 09:24pm 发表的内容：
楼主：你说“无尽小数0.33……就是那个极限”。那么，我问你：那个极限不是1/3吗?1/3表示那个极限已经清清楚楚了!为什么又要说是无尽小数0.33……就是那个极限呢？

1+1=2：  2已经很清楚了，为什么要说1+1就是2？

elimqiu

下面引用由顽石在 2009/02/27 08:52pm 发表的内容：
所谓的“实无穷”，其实真正想表达的意思就是：已经结束了！冻结了！定局了！穷尽了！终于到达极限了！达到止境了！这不就是“有穷”吗？！ ...
为什么反对者们没有直截了当地老老实实地说出自己想说的话？！应该大胆地说出：“实无穷就是实有穷！”

说得很辩证么。如果你喜欢把取极限叫做实无穷。在这样的术语系统下，为什么不说实无穷就是实有穷？不过我想用实无穷这词指“结束了！冻结了！定局了！穷尽了！终于到达极限了！达到止境了！”的非有限集合的一种共性。