[原创]四维超立方体

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/29 10:38am 第 1 次编辑]


　　回zhaolu48君的话：
　　
　　我相信你对画法几何与机械制图有相当的造诣．
　
　　我也粗略地读过有关于上面内容的两本书，虽然我对画法几何与机械制图至今还是理解不深，但是我还是觉得您在上面的回帖里面，可能混淆了下面的２个概念：
　　　　＂三视图（或六视图）＂－－－－＂直观图＂．
　　一个等边圆柱的三视图中：正视图是一个正方形，俯视图是一个圆．
　　而它的直观图一般情况下为两个椭圆与一个平行四边形（＊注）．
　　（＊）虽然画法是有规定的－－通常都采用斜二测或正等测画法，但是这个圆柱并不一定是直立摆放在桌面上，也可能倾斜摆放，所以不一定是正方形．　　
　　上述两个概念有着相同的地方－－都是在平面上的射影．但是它们两毕竟还是两个不同的概念．

　　前面９楼多数讨论的事实上是＂直观图＂的问题，然而再１０楼你却引进＂三视图＂，似乎是偏离了主题．
　　况且，你在下面说的这句话存在２个概念理解性的错误：
　　　　        ＂一个四维长方体，要在三维直角坐标系内
　　　　　　画它的视图， 就应该画四视图， 每个视图就是
　　　　　　它的相对超面的一个 (准确的说是这个四维长方
            体重合为一个)：(三维)长方体。＂
　　如果您不介意的话，找找看？

    另外,画法虽然是有规定的,但是对于坐标轴的配置(如相交角度,单位长等),实际上却没有强行的规定,比如画一个正方体的所有对角线,此时通常不把两轴的夹角设置成45度,正如您所言"比较容易反映它的特性的方向".

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　　国庆节快来了，顺祝您的家人安好!

　　

zhaolu48

　　可以在平面(纸)上画三维图形的直观图，但在三维空间里却不能“画”四维图形的直观图。因为在三维空间里是“画”不出第四维的坐标轴的。只能想象，三维空间里的直观图，是某一个四维图形在三维空间里的投影。
　　比如一个四维长方体的“四度”分别为a(1),a(2),a(3),a(4)。
　　那么这个四维长方体在四维坐标系{O；x(1),x(2),x(3),x(4)}里的方程一般可为：
　　0≤x(i)≤a(i) (i=1,2,3,4)
    那么在这四个方程中任取三个构成的(四组)方程组，就表示它分别在四个坐标面内的射影的方程。
　　设b(1),b(2),b(3),b(4)为4个两两垂直的并且模分别为a(1),a(2),a(3),a(4)的四个向量，则
　　x=t(1)*b(1)+t(2)*b(2)+t(3)*b(3)+t(4)*b(4)　(0≤t(i)≤1,i=1,2,3,4)
　　其中向量x=(x(1),x(2),x(3),x(4))
就是前面的四维长方体一个顶点在原点，在空间{O；x(1),x(2),x(3),x(4)}里任意放置一个以t(1),t(2),t(3),t(4)为参数的参数方程方程，或称为向量方程。
　　根据方程也可得在坐标面{O；x(1),x(2),x(3)}射影的方程，比较麻烦，就不在作了。
　　如果b(1),b(2),b(3),b(4)不是两两垂直的的，那么这个方程就表示一个四维平行八面体。
　　设向量g=(g(1),g(2),g(3),g(4))，h=(h(1),h(2),h(3),h(4))，
　　g,h垂直的充要条件是内积为零，
　　即g(1)*h(1)+g(2)*h(2)+g(3)*h(3)+g(4)*h(4)=0　。
　　g的模为
　　|g|=sqrt(g(1)^2+g(2)^2+g(3)^2+g(4)^2)。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/29 05:19pm 第 7 次编辑]

　　　　　　
　　＂可以在平面(纸)上画三维图形的直观图，但在[color=#DC143C]三维空间里却不能“画”四维图形的直观图。因为在[color=#DC143C]三维空间里[color=#0008b]是“画”不出第四维的坐标轴的。只能想象，三维空间里的直观图，是某一个四维图形在三维空间里的投影。＂
　　
　　两处红色字”[color=#DC143C]三维“，你的本意当是指“２维”吧？
　　蓝色字“[color=#0008b]是“画”不出第四维的坐标轴的只能想象，三维空间里的直观图．．．．．．”，何以见得？图不是已经画出来了吗？如果你感觉问题不好想象，你可以先降维，仔细考虑下列对话：
　　
　　　问：１．画一个正方体为什么要３根轴？
　　　答：（因为正方体是３维的）
　　　　　２．不错，再请问一个平面，比如一张纸是几维的？
　　　　　（太简单，不就是２维嘛）
　　　　　３．一张纸是２维的，而画立方体要画３根轴，怎么画？
　　　　　（两两垂直呗）
　　　　　４．具体怎么画？
　　　　　（两条垂直，另外一条交成４５度）
　　　　　５．另外一条为什么不也画成垂直？
　　　　　（平面上画不出来呀！）
　　　　　６．那么画成４５度，表示什么意思？
　　　　　（垂直）
　　　　　８．画成其它角度可以吗？比如说是多少？
　　　　　（也可以，１３５度，３０度等等）
　　　　　９．归纳一下，在２维的平面上画３维的图形，２条数轴够不够？要几条？
　　　　　（不够，要３条）
　　　　　１０．实际画的时候，它们是不是垂直？
　　　　　（不是）
　　　　　１１．这３条数轴所成的角分别表示什么？
　　　　　（垂直）
　　　　
　　　　　１２．类比以上，以下考虑４维图形，画个超立方体要几根轴？
　　　　　（４根）
　　　　　１３．他们表示什么意思？
　　　　　（两两垂直）
　　　　　１４．请在纸上画出它们来．
　　　　　（学生画图，画不出来）
　　　　　１５．请考虑前面我提的第３问至第４问．
　　　　　（哦，我知道了，先画两条垂直的数轴ＯＸ，ＯＹ．另外再画一条与它们成４５度角的数轴ＯＺ，再画一条与他们成倾斜３０度的数轴ＯＴ．）
　　　　　１６．画了４条数轴，它们之间有什么关系？
　　　　　（两两垂直）
　　　　　１７．不错，虽然它们本身不垂直，但是它们表示两两垂直．这就是４维空间的坐标轴在２维平面上的直观图．有了坐标轴后，如何标示一个点呢？回忆一下３维点的做图．先考虑在２维平面上画点Ｉ，
　　　　　　　　　　Ｉ（４，３，２）
　　　　　再请一位同学在画出点Ａ，提示一下，只需要再考虑Ｉ向第４个数轴方向平行移动１个单位：
　　　　　　　　　　Ａ（４，３，２，１）
学员提问：１８．为什么那么难看呀？
　　　答：因为．．．．．（汗．．．．．）我们生活在３维空间，天天看３维，想３维．四维的东西嘛．．．（汗．．．）
　　　　
　　　　．．．．．．
　　
   
　　另外，前面我说你的一句话存在２个概念理解性的错误，你还没找出来吗？
   

　　老兄呀，你呀，你......
    　　

zhaolu48

　　如果非要在纸上画四维正方体的话，那么在四维空间里看三维正方体，这个三维方体就相当于一个正六边形。
　　那就只好在纸上画一个正六棱柱，把正六棱柱的底面正六边形想象成三维正方体，每个侧面的正方形与底面一样，也是正方体。
　　如果按先生的降维观点，在直线上也可以画出三维图形了！
　　不知在直线上如何画正方体？
　　因此要在二维平面(纸)上画四维正方体，与在直线上画出三维正方体一样的不可思议！
　　先生竞能在纸上画出五维正方体，令人佩服！
　　从画图的观点上讲，降维也只能降一维。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2005/09/30 08:39am 第 1 次编辑]

"如果非要在纸上画四维正方体的话，那么在四维空间里看三维正方体，这个三维方体就相当于一个正六边形。"
　　因为我一直考虑的只是在２维的平面上画４维图形的直观图，我还真没想过在４维空间看３维立方体的样子．不过我们在３维空间看２维的水平放置图形一般的感觉是先纵向压缩以半后再扭曲４５度，当然要依视线角度而定．您肯定是一个六边形，而且是一个正六边形，好象有些武断．您在设置直角坐标系时，适当考虑其夹角，最好是两根垂直，另外两根分别倾斜角为４５度和３０度，以免线条重复太多．否则真有可能成为正六边形．

　　＂那就只好在纸上画一个正六棱柱，把正六棱柱的底面正六边形想象成三维正方体，每个侧面的正方形与底面一样，也是正方体。＂
　　鉴于上面的观点，正六棱柱之说应该不一定成立．

　　＂如果按先生的降维观点，在直线上也可以画出三维图形了！
　　不知在直线上如何画正方体？＂
    如果要在在直线上也可以画出三维图形，比如考虑正方体ABCDEFGH的所谓＂直观图＂，肯定是由8个点组成的12条线段,它们都共线.  
    共线的一些线段,我想没多少意思的.

　　"因此要在二维平面(纸)上画四维正方体，与在直线上画出三维正方体一样的不可思议！"
    不可思议的东西,不妨思议一番呀.

　　"先生竞能在纸上画出五维正方体，令人佩服！"
    这些问题,前人已经考虑过,而且比我考虑的更深.要佩服,请佩服数学家前人,别说我.
    我只不过是把前人的一些成果,介绍性地解释给大家听罢了.
    你如此说话,我心里不好受.
　　"从画图的观点上讲，降维也只能降一维。"
    理由不充足,结论也错误

zhaolu48

　　看来是咱们两人对高维欧氏空间的理解有很多不同点，因此谁想说服谁都是困难的。
　　n维欧氏空间是比其它空间更重要的空间。
　　可是关于n维空间的专著确是不多。也就是说n维欧氏几何的理论现如今很贫乏。
　　江泽的《拓朴学引论》对n维几何的研究算是较多的了，但也远没达到令人满意的程度。
　　《泛函分析》把n维欧氏空间称为最基本的空间，可《泛函分析》重点讲的却是希尔伯特空间。
　　在三维范围内的计算，主要都是在三维以内的欧氏空间内实现的，由此推想，高维计算也应大多数在n维欧氏空间内完成。因此对n维欧氏空间几何应是我们主要研究的高维几何，从而对n维欧氏空间应当通过交流，对基本问题特别是基本概念达成共识是很重要的。

drc2000

是呀．

zhaolu48

“比如考虑正方体ABCDEFGH的所谓＂直观图＂，肯定是由8个点组成的12条线段,它们都共线.  
   共线的一些线段,我想没多少意思的.”
　　何谓“直观图”，就是由它可以很容易地想到(几乎就是看到)它所描述的对象是一个什么样的具体的空间图形，也就是说由直观图，可以制作出对象的模型。
　　在直线上点8个点，根据这8个点能想象出它代表一个长方体吗？
　　有人能读懂在直线上画出的比较复杂的机械零件视图吗？
　　因此我认为这不只是意思多少的问题，而是根本就不可能的问题。

艾吉布雷苏

好深奥！我开始怎么看上去像一个各个面凹进去的立体图形，
还有，四维立体图形怎么判别？（简要叙述，否则我不懂）
老师说，四维除了那三维，还有一维就是时间，这是怎么回事？
帮一下忙，拜托了！！！！！

珠穆亚纳

    用三维以下的眼睛看高维空间的图形，一直是令人困惑的。但是用对偶转换方式来描述空间的“维数”或者“维度”则连小学生都可以理解。——每一个维就是一个空间元，有关系就连上一根线，就可以依次类推，画出一个图论中所常涉及的“完全图”KI，这就是高维空间的图形的抽象表达，但是却比现在本楼的图更好理解。