何谓数学？数学的本质，以及浅谈对数学不值一提的攻击。

jzkyllcjl

第一，“实践------------>公理---------------->定理”
        提炼，飞跃       严格的逻辑推导
的这个公式我赞成！如果提炼飞跃得出的公理违背实践就应当被推翻！从新提出公理！
第二，欧氏几何与非欧几何的矛盾应当取消，找出它们之间的相容性！

ygq的马甲

下面引用由jzkyllcjl在 2009/03/30 09:00pm 发表的内容：
第一，“实践------------>公理---------------->定理”
        提炼，飞跃       严格的逻辑推导
的这个公式我赞成！如果提炼飞跃得出的公理违背实践就应当被推翻！从新提出公理！
第二，欧氏几何与非欧 ...

实际上，更常见的说法是：归纳与演绎

tnjian

下面引用由jzkyllcjl在 2009/03/30 09:00pm 发表的内容：
第一，“实践------------>公理---------------->定理”
       提炼，飞跃       严格的逻辑推导
的这个公式我赞成！如果提炼飞跃得出的公理违背实践就应当被推翻！从新提出公理！
第二，欧氏几何与非欧几何的矛盾应当取消，找出它们之间的相容性！

1.在数学中，一组公理合法的最关键的特性是：相容性（也就是无矛盾性），在满足相容性的基础上，我们会提出一些修饰性的特性比如独立性和完全性。
所以，就算一组公理是不符合实践的，也完全可以合法存在。
因为我们说过，数学不是说“公理为真”
而是在说“若公理为真，则定理为真”，数学研究的是从一组无矛盾的公理中会得出什么结论。
这是数学与物理的区别。也是数学独立于现实，保持恒真的本性。说大白一点，维特根斯坦就说过“逻辑都是重言式”，那么作为条件命题的“若公理为真，则定理为真”也是重言式。
2.欧几里得几何与非欧几何之间并不是矛盾，而是不同的前提导出的两种工具。比如在代数里面，我们有“交换代数”---研究满足交换律的代数结构，有“非交换代数”--研究不满足交换律下的情况，数学家们在各种可能的情况下发展了各种各样的武器库，工程师们在现实中遇到合适的情况就选用合适的武器库。这哪里叫矛盾？
  回到欧几里得几何和非欧几何，也是同样的两套武器，分别用在不同的情况下，我们在地球内的现实生活中使用的是欧几里德几何，在宇宙的相对论中使用的是非欧几何的一种（黎曼几何），你能告诉我真正的宇宙是哪种几何吗？物理学家都没搞清楚的问题，大家何必在妄谈。
   而且，不管宇宙的时空本性是哪种几何，数学只是工具，你使用符合那种情况下的几何就可以了。所以物理学家经常感叹，在物理学理论还没建立以前，数学家经常就准备好了数学工具，原因是什么呢？就是数学家凭借着人类的心智，自由的构造着各种无矛盾的理论体系，来穷尽这个世界的各种可能的逻辑构造。
3.虽然各种无矛盾的公理体系都是合法的，但是，并不是每种都使人感兴趣，人总是利己的，所以对现实有帮助的理论体系会得到更多的关注，符合现实的理论体系也会得到更多关注，但是，这绝不是说其他的公理体系不对（只要无矛盾，它们就合法），而是指它们受到冷落。
   现在数学的根本基础是ZFC，大家请一条条的把ZFC列出来，告诉我，哪条是矛盾的，我想没有。或者，告诉我，哪条ZFC公理是不符合实践的，我想也没有。
   这就是ZFC既合法又被绝大多数数学家追随的原因。

ygq的马甲

1.在数学中，一组公理合法的最关键的特性是：相容性（也就是无矛盾性），在满足相容性的基础上，我们会提出一些修饰性的特性比如独立性和完全性。
所以，就算一组公理是不符合实践的，也完全可以合法存在。

这里的“完全性ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ”，并不是“修饰性”的，因为只有符合“完全性ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ”的体系，才是完全有【结论】的或有“判断”的。
举例来说，ZFC 等“形式”类，是不能【检验】康托尔连续统假设的。因为已经超出了 ZFC 等的范围

tnjian

哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里德几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。
但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，你永远不能找出公理的完整集合。每一次你将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在你的研究范围之外。

ygq的马甲

下面引用由tnjian在 2009/03/30 09:57pm 发表的内容：
哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里德几何中，如果　...

这是一种非常……非常非常【典型】的误读，即“哥德尔不完全性定理”【否定】的是什么？？？究竟是体系？？？还是“形式”逻辑？？？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1161&show=75
欧阳耿（漳州师范学院数学系，福建漳州，363000）
也是基础数学的

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/30 10:39pm 第 2 次编辑]

我说的是，哥德尔第一不完备性定理，请问，哪里有不妥
哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
恩，另外，我不是学数学基础的，我是学非线性的。
另外，我承认，完备性比独立性重要得多。不是修饰性的特性，这句是我鲁莽了。
再另外，我看来，相容性是第一要义，比完备性更加重要。是公理系统合法的准则。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/03/30 10:49pm 第 1 次编辑]

下面引用由tnjian在 2009/03/30 10:26pm 发表的内容：
我说的是，哥德尔第一不完备性定理，请问，哪里有不妥
哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
恩，另外，我不是学数学基础的 ...

哥德尔不完全性定理，只在“形式”逻辑范围内成立。难道你不知道吗？？？[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-
附图：二维几何模型表示的逻辑类型

【公理二】存在且只存在 R(·,·)="∈"∪" Ï "∪"Φ"
按照“一分为二”方法假设代号 A 和 ﹁A ，那么对照“二维几何模型表示的逻辑类型”附图，存在五种侧面，分别如下：
R(·,·)="Φ" 对应的是 A 和 ﹁A ；
R(·,·)="∈" 对应的是 A←→A 和 ﹁A←→﹁A ；
R(·,·)=" Ï " 对应的是 A←→﹁A 。
以上是【公理】部分，与 A 所选择的具体内容无关。
举例来说，这种“扩张、扩展ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”体系，就不管这个“哥德尔不完全性定理”

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/03/30 11:16pm 第 1 次编辑]

我还以为我对哥德尔定理理解有错，吓了一大跳。
对我来说，只有一种逻辑需要承认，就是数理逻辑，我所知道的所有逻辑工作，包括经典逻辑，模糊逻辑，多值逻辑，相干逻辑，无不是形式逻辑。
非形式的逻辑被我无视了。因为觉的那不属于数学。

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/03/30 11:51pm 第 1 次编辑]

下面引用由tnjian在 2009/03/30 11:14pm 发表的内容：
我还以为我对哥德尔定理理解有错，吓了一大跳。
对我来说，只有一种逻辑需要承认，就是数理逻辑，我所知道的所有逻辑工作，包括经典逻辑，模糊逻辑，多值逻辑，相干逻辑，无不是形式逻辑。
非形式的逻辑被我无视 ...

“形式 ｆｏｒｍａｌ”逻辑 ≠ “形式化 ｆｏｒｍａｌｉｚｅｄ”逻辑
看样子，不是基础数学方面，“交流”起来是不方便。