[转帖]又一个不等式

ccmmjj

下面引用由elimqiu在 2010/01/20 06:16am 发表的内容： {1/n} 单调， {sin nx} 部分和有界， 试试 Abel 变换？

这不是求极限或收敛性的问题，而是试证其部分和恒大于0 的问题。我有一个想法，就是能否证明存在一个数N，在n>N下，部分和1到n的值恒大于第二部分和n+1到n+m的绝对值，其中m是一个正参数。然后再来逐步验证n<=N的情况。

elimqiu

没说要用Abel变换证收敛啊。

ccmmjj

是我弄错了。我已经多年不看分析书了，以为你说的是级数收敛性Abel判别法。http://mathworld.wolfram.com/AbelTransform.html
我查了一下以上链接，象是求积分的公式。我是记得有一个数列和的公式，但形式上记不清了，麻烦你试证一下，或者把变换公式贴上来，我自己试一试。

musicbug88

令z=exp(ix)，我得到如下等式，请帮忙验证一下

我是用Lars V. Ahlfors  complex analysis 一书中给出的公式，如果正确，估计后边积分就能证明这个不等式

musicbug88

只对不等式左边函数的极值点估计楼上的积分值就应该能证明这个不等式。

ccmmjj

围线C是以z为中心的吧，根据柯西积分定理后半部是一个关于z的函数，心里感觉不是很象。你试用柯西积分定理将后半部的函数表示出来，再和前面的展开式比较一下，我马上就要下晚班了，来不及用纸笔验算。而且，当z→1时，情况非常不稳定，我很怀疑就算是正确的表达式，这个积分也不好用。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ccmmjj 在 时添加 -=-=-=-=-
希望老兄能证明或证伪，我也就了了一桩心事。

ccmmjj

下面引用由elimqiu在 2010/01/20 06:16am 发表的内容：
{1/n} 单调， {sin nx} 部分和有界， 试试 Abel 变换？

昨晚将分析书复习了一下，找到有关Abel变换的有关内容，是关于数列和的一个变换，分部积分法是它在连续集上的变例。只是它作为一个证明狄里科雷判别法的引理出现，怪不得我印象不深，不过，用这个方法还是无法证明。我昨晚灵机一动，突然想到一个简单的变换，y=Pi-x,可以把它变为正负交错的形式，如果用这个形式处理，可能更直观。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/03/23 02:29pm 第 4 次编辑]

不能上论坛，倒是花了点时间做题目。看看这个：

我的试验网址 http://math.elinkage.net

elimqiu

这个题目很漂亮，所以就上了心。但一直找不到解。于是也在复函，级数技巧等方面做尝试。后来上了一个英文的数学论坛，就将它当个征解贴了出去。不久一个斯里兰卡的朋友回贴建议用归纳法证，这就激我去想初等证法。不想弄了几下还就得手了。于是将解贴出并好好谢了那朋友。谁知那朋友不满我的证明，给出了一个错的解（大意是：如果不等式对n成立，那么因为 n+1> 0, x∈(0,pi),所以 sin (n+1)x ≥０...）。不管怎样，是他让我回到一开始就放弃的思路上去的。我很感谢他。
我认为这题一定是早已解决了的。只是不知道为什么我们以前从来没见过，更不知道它的解。
相信这问题还有别的解法。不过这里的解是相当初等的一个。

ccmmjj

过个年，身体搞虚了不少。很久没上网了。不过今天非常高兴，因为刚上网就看到elimqiu 把我提出的这个问题解决了。极小点不存在的证明是个关键。非常感激elimqiu 持久的关注和坚持。我的这桩心事已了。这题确是一道新题，我在一个数学论坛（研发论坛）看到有关的讨论。讨论的水平比较低，或至少我认为不够美观，所以我把它稍作整理后在这里提出来。再次感激elimqiu 同志的努力，我想也是妙手偶得吧？elimqiu 同志将来必能成一名有真才实学的大教授。