已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-14 09:54
题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0 ...

如果按照主贴的那种方法分类讨论，怎么求解

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-14 13:47
如果按照主贴的那种方法分类讨论，怎么求解

题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

解  因为当 0＜x＜1 时，x+1＞0 ，所以 ｜x+1｜= x+1 ，所以

f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜＞x 就是 x+1-｜ax-1｜＞x ，也就是 ｜ax-1｜＜1 。

    下面分三种情况讨论：

（1）当 ax＞1 时，｜ax-1｜= ax-1＜1 ，即有 ax＜2 。

（2）当 ax = 1 时，｜ax-1｜= 0＜1 ，此式当然成立，没有什么用处。

（3）当 ax＜1 时，｜ax-1｜= -ax+1＜1 ，即有 ax＞0 。

    综合上面（1）（2）（3），可得 0＜ax＜2（当 0＜x＜1 时）。

    下面证明：a 的取值范围是 0＜a≤2 。

    假设 a≤0 ，则当 x = 1/2∈(0,1) 时，会有 ax = a/2≤0 ，与 ax＞0 矛盾，所以假设

不成立，必有 a＞0 。

    假设 a＞2 ，则当 x = 2/a∈(0,1) 时，会有 ax = a·2/a = 2 ，与 ax＜2 矛盾，所以

这假设也不成立，必有 a≤2 。

    而当 0＜a≤2 ，0＜x＜1 时，显然必有 0＜ax＜2 。

    所以，a 的取值范围是 0＜a≤2 ，即 a∈(0,2] 。

永远

谢谢陆老师

波斯猫猫

题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

思路：当 x＞0时，解不等式 f(x)＞x ，由f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜＞x 就是 x+1-｜ax-1｜＞x 或｜ax-1｜＜1 解得0＜ax＜2  ，即 0＜x＜2/a  （当a≤0 时，显然｜ax-1｜＜1不成立，故a＞0）。要使此解在x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，则必有2/a≥1，即a≤2。综上 0＜a≤2。

永远

波斯猫猫 发表于 2020-2-15 13:03
题  已知 f(x)=｜x+1｜-｜ax-1｜，x∈(0,1) 时，不等式 f(x)＞x 成立，求 a 的取值范围。

思路：当 x＞0 ...

谢谢先生的解答