用 Cauchy（柯西）不等式求下列函数的最小值：√[(x-2)^2+1^2]+√[(x-5)^2+2^2]

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-24 17:57

陆老师晚上好，9楼，你解答部分的大红字第二个由柯西不等式这行有笔误，见图

永远

陆老师好，你楼上帖子中为什么把（x-5）改成（5-x）在用不等式，为什么要这样做

luyuanhong

谢谢楼上指出！我已在第 9 楼帖子中作了更正。

把 (x-5)^2 改写成 (5-x)^2 ，是为了使 x-2 与 5-x 相加时可以消去 x 。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-24 21:26
谢谢楼上指出！我已在第 9 楼帖子中作了更正。

把 (x-5)^2 改写成 (5-x)^2 ，是为了使 x-2 与 5-x 相加 ...

其它无疑问，关键是把x-5改成5-x这步，老师你说为了相消掉x，我从你帖子中看到确实如此。但是能不能从其他条件得出要改成为5-x呢，难道对于相关类似题，全部改成两两相反吗，求解？？？？

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-24 21:26
谢谢楼上指出！我已在第 9 楼帖子中作了更正。

把 (x-5)^2 改写成 (5-x)^2 ，是为了使 x-2 与 5-x 相加 ...

为什么当消掉x值时，取得最小值？？？？
我猜应分16种类型来分类讨论

波斯猫猫

最优解法，用柯西不等式√(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]求解：√[(x-2)^2+1^2]+√[(x-5)^2+2^2] =
√[(x-2)^2+1^2]+√[(5-x)^2+2^2] ≥√[(3^2+3^2]=3√2（当且仅当（x-2）/（5-x）=1/2，即时x=3时，取得最小值）。

永远

波斯猫猫 发表于 2020-2-24 23:00
。。。。。。。。。。

先生此楼的解法，贴吧早已给出。无论楼上陆老师的帖子还是本楼的解答，关键一步就是把x-5改成5-x，陆老师说消掉x才改成这样，为什么要消掉x并没论证。楼上我给出16种分类讨论，而陆老师说把改成5-x那种类型只不过是那16种类型的其中之一罢了，全部讨论完才能确定把改成5-x套公式取得最小，个人猜的

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2020-2-24 23:00
最优解法，用柯西不等式√(a2+b2)+√(c2+d2)≥√[(a+c)2+(b+d)2]求解：√[(x-2)^2+1^2]+√[(x-5)^2+2^2] =
...

这样就可以消去变量x,得到常数，进而求出最小值