p^n+p^(n-1)+...+p+1不为平方数

moranhuishou · 发表于 2009-5-29 08:29

怎讲？

APB先生 · 发表于 2009-5-29 14:04

p^n+p^(n-1)+...+p+1必可表为二个平方数之差！三个平方数之差！…，任意多个平方数之差！
p^n+p^(n-1)+...+p+1=a^2-b^2，a^2-b^2-c^2，…，a^2-b^2- … -z^2,……

moranhuishou · 发表于 2009-5-29 16:10

可惜没用。

moranhuishou · 发表于 2009-5-29 23:56

本猜想本来是上网求助的，几天过去了，也没有人能够证明，只好自力更生了。
不好意思，命题已经（刚刚）证明（腹稿，还未来得及动笔）猜想已成定理！
因为此定理关系重大，证明又异常简捷巧妙，有点激动，所以先通报一下。
但证明暂时先不公布，目的是看看本论坛还能有几个人能够给出这个证明！
这里设下擂台，希望有人能踊跃参加比武论剑。

bardo · 发表于 2009-5-30 00:51

对于2进制，
结果是：2^(n+1)-1
对于P进制，结果也是很显然的，如果此数加上P，则此数为：P^(n+1)
所以，实际此数可以简单表示为：P^(n+1) - P
所以，原命题就是要证明，P^(n+1) - P 为非完全平方数（n>4. p为奇素数）

moranhuishou · 发表于 2009-5-30 09:14

p^(n+1)－p
与
p^n+p^(n-1)+...+p+1
并不相等。
与之相等的是另一式
[p^(n+1)-1]/(p-1)

APB先生 · 发表于 2009-5-30 16:56

a^2-b^2对证明哥猜有用；因为从每一个大偶数表为的全部1+1推出的1×1，都可以表示为a^2-b^2，而有1+1←→1×1。

moranhuishou · 发表于 2009-5-30 19:49

应该说
p^n+p^(n-1)+...+p+1
不为平方数
这是一个有着重要意义的猜想（现在已成定理），因为它涉及到一个著名世界难题的证明的简繁、
这是一个没有人敢猜的猜想，因为人们很容易举出反例p=3,n=4.所以如果猜想，也只能猜想它可以为平方数而不是相反。
这个一个证明有着相当难度的猜想。
这也是一个非常巧妙优美的证明。

gaocd · 发表于 2009-5-30 20:14

和 moranhuishou 赛跑，
先证p=2的情况。
用反证法，设2^n+2^(n-1)+...+2+1=x^2
x必为奇数,令x=2k-1
所以2^n+2^(n-1)+...+2＝4k(k-1)
所以2^(n-1)+2^(n-2)+...+1=2k(k-1)
左边为奇数，而右边为偶数，矛盾！

wangyangke · 发表于 2009-5-30 20:24

管他 moranhuishou 司炉先生君子乎非君子乎，看了 gaocd 的19楼帖，很高兴的，忍吧住的要为或要向司炉先生祝贺！，，，，

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p^n+p^(n-1)+...+p+1不为平方数