[原创]《生日悖论》是个延续了百年的谬误！

商余儒

谢谢先生的回帖！
先生的意见很对，这一段我写得不好，特别在数学论坛讨论问题时，不能用哲学的讨论办法，要用适合“数学讨论”的办法，也就是不要直接讨论逻辑矛盾，而要让数学研究者自己动脑筋去发现逻辑矛盾和概率理论的线性局限性。
现改写如下：
有9个形状、大小、重量、材质都一样的小球，其中：
3个是红色的，分别标着123三个数字；
3个是棕色的，分别标着123三个数字；
3个是蓝色的，分别标着123三个数字；
对这样的9个小球，每次随机取样3个小球，请先生按自己认定的概率理论和计算方式计算并回答：
取到怎样的3个小球的概率最小？

再次谢谢先生的回帖！

商与儒

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/06/20 03:25pm 第 3 次编辑]

题 有9个形状、大小、重量、材质都一样的小球，其中：
  3个是红色的，分别标着1,2,3三个数字；
  3个是棕色的，分别标着1,2,3三个数字；
  3个是蓝色的，分别标着1,2,3三个数字；
对这样的9个小球，每次随机取样3个小球，请先生按自己认定的概率理论和计算方式计算并回答：
  取到怎样的3个小球的概率最小？
解  从9个球中，任意取出3个球作组合，共有 C(9,3)＝9×8×7／(3×2×1)＝84 种不同的组合：
{红1,红2,红3} {红1,红2,棕1} {红1,红2,棕2} {红1,红2,棕3}  {红1,红2,蓝1} {红1,红2,蓝2} {红1,红2,蓝3}
{红1,红3,棕1} {红1,红3,棕2} {红1,红3,棕3}  {红1,红3,蓝1} {红1,红3,蓝2} {红1,红3,蓝3} {红1,棕1,棕2}
      ……
{蓝2,蓝3,红1} {蓝2,蓝3,红2} {蓝2,蓝3,红3} {蓝2,蓝3,棕1} {蓝2,蓝3,棕2} {蓝2,蓝3,棕3} {蓝1,蓝2,蓝3} 。
（1）如果要求“取到3个同样颜色的球的概率”
由于取到3个同样颜色的球的组合有3种： {红1,红2,红3} {棕1,棕2,棕3} {蓝1,蓝2,蓝3} ，
所以，“取到3个同样颜色的球的概率”为 3/84＝1/28 。
其他 84－3＝81 种情况，都不是3个同样颜色的球的组合，
所以，“取到不是3个同样颜色的球的概率”为 81/84＝27/28 。
（2）如果要求“取到3个同样号码的球的概率”
由于取到3个同样号码的球的组合有3种： {红1,棕1,蓝1} {红2,棕2,蓝2} {红3,棕3,蓝3} ，
所以，“取到3个同样号码的球的概率”为 3/84＝1/28 。
其他 84－3＝81 种情况，都不是3个同样号码的球的组合，
所以，“取到不是3个同样号码的球的概率”为 81/84＝27/28 。
（3）如果要求“在已知取到3个球颜色相同的条件下，这3个球号码相同的概率”
取到3个同样颜色的球的组合有3种： {红1,红2,红3} {棕1,棕2,棕3} {蓝1,蓝2,蓝3} 。
在这3种组合中，3个球号码相同的情况一个也没有，号码相同的情况数为 0 ，
所以，“在已知取到3个球颜色相同的条件下，这3个球号码相同的概率”为 0/3＝0 。
而在这3种组合中，3个球号码不同的情况有3个，
所以，“在已知取到3个球颜色相同的条件下，这3个球号码不同的概率”为 3/3＝1 。
---------------------------------------------------------------------------------------
上面（3）得到的结果，与上面（2）得到的结果，并不相同，这里是不是有矛盾？我们说：没有矛盾。
上面（3）得到的结果，叫做“条件概率”，它是在“已知取到3个球颜色相同”的条件下求出的概率。
上面（2）得到的结果，叫做“非条件概率”，它是在“不知取到3个球颜色是否相同”的条件下求出的概率。
“条件概率”与“非条件概率”是两个不同的概念，定义不同，计算结果当然可以不一样，没有什么矛盾。

恶心的狐狸

“取到怎样的3个小球的概率最小？”
说实在的，不太明白你说的意思。

商余儒

很感谢两位先生的回帖！
从你们的回帖中，我看到了数学爱好者（教学者、研究者）在面对数学问题中出现的逻辑矛盾时，两种不同的态度和处理方法——真的很感谢你们！
我在下面的回帖里分别答复两位先生，请见谅！
商与儒

商余儒

答luyuanhong先生：
再次感谢你的回帖，因为这确实花了你不少时间和精力！
我在研究这个问题时，也花了时间和精力进行认真的计算和思考，在这里跟你交流一下，供你参考，请批评指正！
假定我们忽略任何一个标识（譬如忽略数字，只认颜色），计算结果是：
3球颜色相同的概率最小：1/9；
3球颜色都不同的概率为：2/9;
假定我们认同两个标识同时存在，但是以一个标识（譬如颜色）作为识别特征，计算结果是：
3球颜色相同的概率最小：1/28;
3球颜色都不同的概率为：6/28;
显然，增加一个正交的标识，提高了识别精度，因此同样的9个小球，同样用颜色作为识别特征，同样算3球同色和3球都不同色的概率，得到的概率值差异很大。因为增加了数字标识，使得每一个小球都具有了两维的标识，从而可以区别与其他任何一个小球；但是只用颜色一个标识时，同色的3个小球之间是无法互相区别的。所以，在小球上增加标识是有意义的，它提高了识别的精度。
其次，上述计算结果告诉我们，3球颜色都不同和3球数字都不同的概率，无论你怎么计算，出现的概率都不是最小的。
但是你说的条件概率与我问的不是一回事。
现在我们来看看我提出的问题：
取到怎样的3个小球的概率最小？
假定你回答“取到3球颜色相同的概率最小”，那么你在定义“3球颜色相同”的同时，实际上也定义了“3球的数字一定不同”，或者说，只要你摸到的3球颜色相同，那么这3球的数字一定都不同，这两种情况是同时发生在同样的3个小球上的。因此当你摸到3球颜色相同时，你可以用自己认同的概率理论和计算方式计算后说明，摸到这样颜色相同的3球的概率最小；我也可以通过同样的概率理论和计算方式计算后告诉你，摸到这样的3球（数字都不同）的概率一定不是最小的……
不知道先生是否明白了我的意思？
欢迎批评指教！
谢谢！
商与儒
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 商余儒 在 时添加 -=-=-=-=-
根据网友wanwna先生指出，我的计算出错了，3球颜色相同的概率最小：1/7；
3球颜色都不同的概率为：2/7;
再次感谢wanwna先生！
商与儒

商余儒

[这个贴子最后由商余儒在 2009/06/28 10:31am 第 1 次编辑]

答“狐狸”先生：
但愿先生不是在装糊涂，我再试着把问题说得更清晰一些。
…………
对这样的9个小球每次随机取样3个小球，这3个小球会出现很多不同的排列和组合，譬如：3球颜色相同、3球数字相同、3球颜色都不同、3球数字都不同……
甚至会有一种有趣的组合：3球数字都不同、颜色也都不同……
趁此机会，用这种组合为例子，我也想向各位介绍一下，哲学爱好（研究）者，是如何从哲学角度来思考数学问题的，不感兴趣的网友可以跳过：
这9个小球中的每个小球都有两种标识——颜色和数字，如我在帖子中的图所示，这9个小球的两种标识是按一种正交的状态给于的——也就是3球数字相同时，这3球的颜色一定都不同；3球颜色相同时，这3球的数字一定都不同。因此从哲学的角度看，在按图所示的情况下，这两种标识是处在一种“对立统一”的状态。对立的是当3球的颜色相同时3球的数字一定都不同，反之，当3球数字相同时3球的颜色一定都不同；统一（矛盾两方面平衡）的地方有两个：一个是这两种标识是等价的，转90°就互相交换了位置，没有哪一个标识为主或更重要的概念；另一个是统一（平衡）在“不同”上——3个小球可以出现一种3球的数字都不同，在这同时3球的颜色也都不同的组合。由于表示两个正交的标识的坐标轴在几何上的夹角是90°，所以它们的角平分线——45°角的那根线，就体现了两者的统一和平衡（谁都不吃亏），我们只要按图用45°的线去取样（这样的线不是一条），3个小球一定处在3球的颜色和数字都不相同的状态。
我们从这个例子可以看到，两个对立的形式逻辑系统，它们只能统一在两个地方，一个是统一在“等价”上；另一个是统一在“不同”上。它们之间的对立（矛盾）是绝对的、不可调和的，这对矛盾在任何情况下都不会消失，因而也是无法回避的。
事实上我们还可以再增加一维正交的特征（譬如字母），只要再增加两组同样的9个小球，然后给这3组小球（每组9个）分别标上3个不同的字母（譬如A、B、C），这27个小球中的每一个小球就都同时有了三个标识——颜色、数字、字母，这三者是正交的。当3球的颜色和数字都相同时3球的字母一定不同、3球颜色字母都相同时数字一定不同、3球数字和字母都相同时颜色一定不同；三者也有统一的时候，还是统一在“不同”上——3球的颜色、数字、字母可以都不相同。对三维正交坐标系的哲学研究，由于这里不是哲学论坛，我就不具体探讨了，我只是简单的告诉大家，用它可以与“三原（元）色”的例子一起，探讨“一分为二、对立统一”规律的普适性问题……

现在回到我们的话题。
为了保证取样的随机性（排除取样者的个人喜好、偏爱、取向），这9个小球被放在一个不透明的袋子里，取样者只能用手摸，眼睛是看不到的。所以取样者在任何一次取样时，对小球上同时存在的两种标识无法有任何预期、选择、偏好，对他来讲，只能是随手取出3个小球来（他甚至可以是一个盲人），所以我的问题就是：
你能用你自己认定的概率理论和计算方式，告诉我出现概率最小的是3个小球的哪一种排列或组合吗？
我这样表述，不知先生明白了没有？

反正这里是数学论坛，相信大家都是来互相交流、取长补短的，我试着揣测一下先生会如何回答，行吗？如有得罪，请千万海涵啊！我没有任何恶意，只想与各位探讨和交流、请各位指正自己想法的任何谬误、向各位请教而已！
我估计先生可能有几种回答，譬如：
一、我还是不明白你在说什么。
我的答复：那么，我也确实弄不明白了——我与先生好歹也统一了，统一在“不明白”上了，哈哈哈哈，不管怎样，这也是一种统一啊！
二、你的问题有个合理性问题，因为你没有明确以哪一个标识作为识别特征，所以我无法答复。
我的答复：这里每个小球上都有两种标识，对任何一个确定的小球来讲，它上面的两种标识都是唯一的、确定不变的、互相不冲突的（没有既是A又是非A的情况）；这9个小球也不是我凭空想象出来的、在三维空间无法存在的（譬如克莱因瓶），这个系统完全是个在真实世界可以客观存在、可以实践、可以验证的系统；题目没有规定任何标识作为识别特征，丝毫不影响我每次能取到3个小球，也丝毫不影响我每次取样的随机性，因此取样方式也是合理的、随机的、在真实生活中是可以做到的；在这样的9个小球中每次随机取样3个小球，也只能出现有限的排列和组合（504种），不是发散的、无限的；我问的是在这些排列组合中，哪一种排列或组合出现的概率最小，这个问题也是基于以上事实的、基于上述所有合理性的……所有这一切都符合概率理论设定的条件，你依据什么否定我的问题的合理性呢？反之，假定我在取样时可以看到任何一个标识并作为识别特征，就一定不能保证取样的随机性，也就失去了研究概率的意义，那才是不合理的！
三、你在提问时要增加一个条件——以哪种标识作为识别特征（条件），我才能回答你的问题，否则，任何人都无法回答你的问题！
我的答复：哈哈哈哈，这次你说对了一半——如果我增加一个条件，说明以哪个标识为识别特征，这个题目就很简单了，我相信在这里的任何一个朋友都能正确回答。假定我说以颜色为识别特征，大家都会说，3球颜色相同出现的概率最小；假定我说以数字作为识别特征，大家都会说，3球数字相同出现的概率最小。但是善于思考的朋友一定会想——3球颜色相同的话，这3球的数字一定不同，3球数字不同的概率一定不是最小，所以从理论上讲，根据题目增加的条件，上面的回答并不错，但是却因为客观上被取样的3个小球上同时存在的两个正交特征不可调和的矛盾，而始终存在着一个逻辑上的矛盾，就如我在上面一个回帖所说的那样。
事实上，这个例子反映了线性科学——数学的线性局限性，这种局限性体现在两个地方，一个是数学系统本身就是人类按照严密的形式逻辑构造的，本身是离散结构系统，在面对连续结构系统时，会显现局限性；另一个是数学的研究方法是线性的，它总是把系统线性的分割后研究，再线性的叠加。对于内涵是模拟和辨证的系统，它也只能首先做线性的分割（确定某个条件）后，才能研究，但是这样研究的结果往往互相矛盾或不能叠加。
至于你说错了一半的地方，就是我提出的问题我自己就能回答：3个小球出现颜色都相同的（18种）排列组合和出现数字都相同的(18种)排列组合，并列为出现概率最小的排列和组合。因为无论你用哪个标识作为识别特征还是将两个标识同时作为识别特征，它们出现的概率都是最小的。但是这个回答还是无法回避我在上一段所说的矛盾——譬如，我们在这个回答里定义“3个小球颜色相同”的时候，实际上同时就定义了“这3个小球的数字一定都不同”，而数字都不同的3个小球的排列和组合，不仅包括了颜色都相同的3个小球的排列组合，还包括许多其他的排列组合，所以数字都不同的3个小球出现的概率一定不是最小的。——当然，这样的回答虽然没有能回避矛盾，但总算还是合理和基本正确的。
但是在现实生活中，我们遇到需要用概率理论来做分析和计算的情况会更复杂，譬如我们要对某个行业的某种产品的现状和发展做个市场调查，经常会派人在商业闹市区随机找行人采样调查，被采样的每一个人会同时有很多标识，譬如姓氏、性别、年龄、学历、工资、健康情况……他们的喜好、偏爱、价值观、关注的东西……也会很不相同，譬如，对原料、价格、可靠性、能耗、污染、服务和维修、安全性……的不同意见等。我们在获取这些原始资料后，如何通过概率计算，来确定被抽样的人群在整个人群里的分布？又如何确定我们采样到的数据与真实世界的实际情况的关系？……这些问题，尽管都可以用现有的概率理论来做个线性的、静态的、近似的分析，但是我们一定要看到线性概率理论的局限性……
以上供各位参考。欢迎批评指正！
谢谢！
商与儒

恶心的狐狸

别的我不想说,不要用哲学去想数学问题,谢谢.
请再多学习学习概率论

到处瞎逛

[这个贴子最后由到处瞎逛在 2009/06/21 10:38pm 第 1 次编辑]

楼主对于概率论的一些基本概念还没大搞清楚。
建议去看一下《组合数学引论》，而不是那一本薄薄的高校的《概率论》教材，会对排列组合有更加深刻的了解。
理解了“生成函数”这个东西，就能很轻易的解释几个球的问题，而不需要靠复杂的推理。
我举一个简单的例子。
6个面的筛子，分别标注为1到6，扔3次，所有的数字加起来等于10的组合有多少种，概率是多少。要是依照你的数学知识估计要累死。
看来我还高估了楼主，他连基本的条件概率是什么意思都没搞懂。

商余儒

[这个贴子最后由商余儒在 2009/06/27 01:44pm 第 1 次编辑]

下面引用由恶心的狐狸在 2009/06/21 09:40pm 发表的内容：
别的我不想说,不要用哲学去想数学问题,谢谢.
请再多学习学习概率论

谢谢先生的回帖！
最近很忙，没有及时回帖，还请先生原谅！
哈哈哈哈，这次轮到我不明白了！
哲学与数学确实有很大的差别，但决不是“你死我活”的两个学科，恰恰相反，它们两者之间有两个最显著的共同点，也是其他任何学科都不同时具有的，一个是“抽象”、另一个是“逻辑”。两者不同的是哲学比数学更抽象，而且哲学研究和认同的不仅是形式逻辑，还有辩证逻辑。
了解一些从哲学角度观察和思考数学问题的想法，我认为至少是无害的。
90年代我访问了很多欧美国家，发现在这些国家的公园中，经常可以看到一种用树木组成的迷宫。由于树高一般在3米以上，迷宫里的路都很窄（至多容2人并行），所以身处迷宫里的人很像“两维动物”。
我出了迷宫在旁边山顶上的咖啡馆喝咖啡时，山脚下的迷宫“一目了然”，当我看到一些游客在里面团团转，也回想到自己在迷宫里的“低效率行进”，我想到了两个问题：
一、现在我们熟悉的三维空间，是个离散结构系统，是连续维度空间的一个特例——维度为整数的特例！分形理论告诉我们，分数维是客观存在的，维度是连续的。在离散的整数维的三维空间概念里，把任何有“厚度”的“平面动物”都当作了三维动物，也就是把2.000…0001维和2.999…9999维，都等同于3维了！这种等同忽略了两者几乎有一维的差异，所以难以解释很多现象。由此例子就可以看到，整数维的三维空间有很大的线性局限性，至少它判断空间系统维度的标准（定级）很粗糙，因而精度很低；另外，这个例子还告诉我，我们“观察不到”的未必都是高于3维的维度，实际上有很多“分数维、小数维”，也都是我们观察不到的。
二、迷宫里的我和山顶上的我，学识和智商没有任何变化、也生存在同样的三维空间里，为什么我在迷宫里会有“两维动物”的感受和行动表现呢？——于是我对“不识庐山真面目，只缘身在此山中”的感受更具体和深刻了。所以研究数学的人应该经常跳出“数学迷宫”，站到更高的层次（用更抽象的哲学观点）来纵览数学，这对于开拓自己的视野，了解数学发展中矛盾的本质，反过来理解和分析面临的数学问题，是大有好处的。
下面我从哲学角度来介绍一些我对数学发展的想法：
从哲学的角度看，数学的内部始终存在着矛盾和斗争，正是这种矛盾和斗争，造成了数学的一次次危机，也推动了数学的进步和发展。
我从哲学角度看，数学的本质矛盾只有两个：
一个是逻辑上的，就是形式逻辑和辩证逻辑的矛盾（譬如确定性与不确定性、小与无、现实与抽象、无限与有限、极限与无限逼近、局部与整体、静态与动态、可数与不可数……）。
另一个是存在形式上的，就是模拟量（几何量、形）与数字量的矛盾。
其他矛盾都是这两对矛盾的各种表现形式或它们的组合。
如果换一个维度，我们从结构角度看，那么数学的矛盾就是“自身的离散结构与要面对的问题的连续结构”之间的矛盾；是线性与非线性的矛盾。（一般情况下，模拟和辨证往往意味着连续结构和非线性、数字和形式逻辑往往意味着离散结构和线性）
这些矛盾之间是交叉和互相耦合的。
我们不妨用哲学观点来看看三次数学危机：
第一次数学危机，使人们意识到存在着“不可通约的数”，因此用整数和分数无法完整表达直线上所有的点，只有“有理数”的数系是不完整的，必须承认无理数的合法性。这个矛盾的本质其实是模拟量与数字量之间的矛盾，说明数字量无法精确的表达所有几何量（形、模拟量）。无理数的被承认，是数学的一大进步，数学付出的代价，是数字系统的完美、精准、确定性，人们开始意识到，数学不是那么精确、完美、唯一确定的，数轴上的有些点，尽管是个确定的点，居然无法用确定的数字去表达，而且就是那么不讲道理的客观存在着（无理数不符合加法的封闭性），从此以后，“不能用精确数字表达的点”在数学里被承认了。
第二次数学危机，使人们意识到，无穷小量是无法用形式逻辑定义的，在有些场合它等于0，在有些场合又不等于0。但是用微分——也就是用线性的办法去逼近和解决非线性系统的问题，在符合精度要求的前提下，巧妙的解决了很多非线性的现实问题，非常实用，所以数学家们是绝不会为了这个逻辑矛盾而放弃微积分的。现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾；但是数学也又一次做了让步，承认无穷小量和无穷大量都不是确定的量而是变量（静态与动态）……数学的不确定性由“点”扩大到“量”了。
第三次数学危机，使人们意识到，由于局部与整体、可数与不可数、内涵与外延、有限与无限……都是对立的统一，因此它们之间的边界，是无法“精确确定”的，集合论得出的一些貌似“愚蠢”的结论（譬如局部等于整体），也是可以接受的。……与解决第二次数学危机一样，人们用各种更严格的公理化的办法去严格定义不同理论的适应区间，从而克服了危机，但是数学的不确定性，已经由“点和量”扩大到“区域和整体”了。
其中集合论关于超越数的数量大于代数数的结论，我相信很快会成为更大的数学危机的直接导火线！因为以前我们把实数划分为“有理数和无理数”，这种划分的标准是该数能不能用确定的数字（或加上确定的规律——循环）去表达。在发现超越数后，数学家们随即发现对实数更合理的划分办法是代数数和超越数，我对这种划分从哲学角度看，得出的是这样的结论——“代数数”是数轴上的“点（不管能否用确定的数字去表达）”；而我们已经了解的一些超越数的非线性表现（我断定对超越数研究越多，它的非线性表现就越多），却告诉我们，它可不是“点”，而是趋于无限小（极限状态）的“弧”！（有兴趣请看我帖子的正文）
现在我们再回到前面的9球取3球的话题。
给小球两维正交的标识，是概率理论允许的，它提高了对小球的识别精度，也不影响对小球做概率计算。
但是当我们随机取样3球时，其中的一些组合，却出现了既是A（譬如3球同色），又是非A（3球数字都不同）的矛盾状态，更要命的是它们各自都有确定的概率，两者不相等。
这个矛盾的出现，我认为反映了现在概率理论的局限性（我从来没有说过概率理论错啊），是应该想办法去解决矛盾，而不是去回避矛盾。前面我已经说了解决的办法，那就是“3球同色和3球数字相同”并列为“出现概率最小”的组合。我用一个例子来说明这种解决方法的合理性：
“方程X平方等于1” 的解有两个，1和-1.它们两者对立，也不相等，但同为方程的解，缺一则不完整。
  为什么没有人要求这道题目一定要加上一个“X大于0 或小于0的”的条件才能做呢？
  从哲学角度看，当两个正交特征在一个系统上出现矛盾时，用“或”的办法将两个对立的方面割裂（先化解对立）后再并列（平衡和统一矛盾），就是解决这类矛盾的唯一办法。“或”在概率上的数学表达就是“+”。
供先生参考，欢迎批评指教！
谢谢！
商与儒

商余儒

下面引用由到处瞎逛在 2009/06/21 10:17pm 发表的内容：
楼主对于概率论的一些基本概念还没大搞清楚。
建议去看一下《组合数学引论》，而不是那一本薄薄的高校的《概率论》教材，会对排列组合有更加深刻的了解。
理解了“生成函数”这个东西，就能很轻易的解释几个球的 ...

谢谢先生的回帖！
看了我在上面的回帖，相信先生已经明白，在这个9球的例子上用“条件概率”的概念，就象给解“X平方等于1的方程”时，加上X大于、小于0的条件一样的“……”！
  从先生的回帖看来，先生对概率的理论掌握的很好。先生与其研究“6面散子”问题，还不如花点时间看一下《生日悖论》问题，因为我相信《生日悖论》的谬误至今还在误导着全世界的下一代（不是概率理论错，而是对题目理解错，用错了概率算法）！
我把问题“感性化”一下：
摇奖机是目前大家公认的“透明和公平”的随机取样机器。我们设想一下，现在有很多台装着365个分别标着1-365个数字的小球的摇奖机。
《生日悖论》的结论告诉我们：
如果用23台这样的摇奖机来开奖，平均每开奖两次，其中就有一次摇出的23个小球中，有两个小球的数字相同。
如果用60台这样的摇奖机来开奖，那么摇100次的话，有99次摇出的60个小球中，有两个小球的数字相同！
明明每台摇奖机每次摇出任何一个数字的概率都是等价的1/365，凭什么60台摇奖机分别摇出的60个小球中，就几乎一定有两个小球的数字相同呢？
原来这个结论，是《生日悖论》用概率的公式，排列组合后算出来的。
按概率计算用的排列组合算法，23个人之间比对生日是否相同的次数就高达253次，60个人就更高了，所以他们之间发生生日相同的概率就很大了。
我在这里提醒大家注意我的一个观点：（以下摘自我的帖子的正文）
……《生日问题》有一个内在严格的“序”！一年的365个生日，就像365个席位，本身是严格精确排序的，它们之间不存在“两两相同”的可能（因此这些席位之间也不存在互相比对的需要）。我们一旦取样N个人，这N个人每个人占据的席位就是唯一确定的（一个人只有一个确定的生日），不会再变动，不是同一个席位的任何人之间，根本就不存在互相比对生日相同的必要（或者说比对生日是否相同的概率是确定的0）。用这样的思路来分析这个问题，我们就很清楚了，在这里根据《概率理论》将N个人排列组合后再计算生日相同的概率的做法，是错误的！实际上被取样的N个人，并不是围成一群在互相比对生日，而是直奔自己的席位坐下，不同席位的人之间，虽然可以有很多次互相比对生日的机会，但是这种比对是确定的概率为0 事件，不能作为基本事件参与计算。实际情况是：取样N个人，他们各自在自己的席位坐下，只要这N个人中有人坐到了相同的席位上，就发生了生日相同事件，同时，也一定有“空席位”产生，也就是N个人占据了少于N个席位，所以《生日问题》实际上要研究的，就是被取样的N个人各自坐到自己的席位上以后，占据的席位总数与N是否相同，如果N个人占据的席位数小于N个，就一定发生了生日相同的事件。因此，计算取样N个人发生生日相同事件的概率，关键就是计算N个人应该占据的N个席位中，发生“空席位”的可能是多少，而不是他们之间比对生日的次数有多少……
根据这样的思路，我用三个方法得出了统一的结果……（用兴趣请看正文）
就写这些。
最后想给先生一个建议：
根据你掌握的概率理论，你能否花点时间计算一下《生日问题》的概率？
谢谢！
欢迎批评指正！
商与儒