第七章 数轴与圆的概念问题

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1楼讲道：圆周是一种正多边形序列的极限。所以圆周上无缝隙。

wangyangkee

jzkyllcjl 老先生，虽然被数学家elimqiu反复多次指为饭桶等，老先生的沸沸扬扬的改革，不会半途而废，，，，

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定义1 用直线段将理想平面上一个定点O发出的夹角相等的各个射线上到定点O等距离的点依次连接起来构成的多边形，叫做近似圆周；在射线上这些点处都作垂线，这些垂线相交构成的多边形也叫做近似圆周。定点O叫做圆心，射线上到圆心的那个等距离点的距离叫做圆的半径。
公理1 当射线夹角无限减小而趋向于零时的上述两种近似圆周的极限都叫做理想圆周。
定理1 理想圆周是从圆心发出的所有射线上与圆心距离为半径的理想点的集合。
定理2 上述定义1中第一种近似圆周是理想圆周的内接等边多边形；第二种近似圆周是理想圆周的外切等边多边形。
这两个定理的证明就不详细说了，在此仅仅指出：根据切线是割线的极限的现行教科书中的定义，可知：从上述公理就可以得出：在从圆心出发的射线上，距离圆心为半径的点上的垂直于半径的垂线就是理想圆周的切线，从而理想圆周就是处处光滑的曲线。根据下一节叙述的定理，理想圆周是可求长曲线。
显然，作为极限性质的理想圆周的的理想点的集合是一个不可得到的理想集合；但从我们定义与公理、定理出发，可以看出：理想圆周长能够被看作当最大边长无限缩小而趋近于零时的，它的内接多边形或外切多边形的周长的极限。这个问题说明了理想圆周与近似圆周之间具有相互依赖的辩证关系。

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7．1．2 建立数轴理论之前应有的预备知识
由于数轴概念是涉及到线段长度、直线、、点、实数四个概念的理论，所以在讨论数轴概念之前，首先需要简短叙述一下这四个概念。第一，关于线段长度的问题，是我们第二章中讨论的问题。在那里讲道：线段理想长度（或称真值）是无法测出的，人们能做到的只是在一定的误差界之下，经过测量得出它的近似值；在那里，我们提出了“线段的理想长度是误差界趋向于0时近似长度的极限”的公理。第二，现实空间中没有无穷长直线，在第九章中笔者提出了“理想直线是有穷长线段无限延长的极限”的公理。第三，点的概念是我们在第四章中讨论的问题。在那里，我们提出了“没有大小的点叫做理想点，有大小的点叫做近似点；理想点是大小趋向于0时的近似点的极限的公理”。第四，实数理论的问题是我们第三章中讨论的问题。在那里，我们提出了“无穷具有无有穷尽的性质；无尽小数的真实意义是无穷数列；无穷小数的极限才是理想实数的公理”。下边在上述认识与公理的基础上，提出具有实践性、构造性、公理性的太极图式的数轴概念。
7．1．3 实践性、构造性、公理性的太极图式的数轴概念
定义1 在点与数的对应误差界为1/10的情况下，我们可以设想在较高的精度要求下把长度为20个单位的现实直线段足够准近似地区分为长度为1/100的2000个小线段。然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，并用含有一位小数的十进小数 -10.0表示它；再把第6个至第15个小线段合起来作为第二个近似现实点， 用含有一位小数的十进小数-9.9表示它，……；把第996个至第1005个小线段合起来作为第101个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.0表示它，把第1006至第1015个小线段合起来作为第102个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.1表示它，……；把最后5个小线段合起来作为第201个近似现实点，用含有一位小数的十进小数10.0表示它。这样做成的近似现实点与其表达数字之间的对应误差小于1/10。我们称：有了这种近似现实点及其对应表达数字之后的这个现实直线段是误差界1/10之下的近似现实数轴。
定义2  在“假定误差界可以无限减小而趋向于零”的条件下，继误差界1/10之下的近似现实数轴之后，在“误差界”提高到1/100的情况下，我们可以将长度为200个单位的现实直线段在较高的精度要求下区分成长度为1/1000的200000小线段，然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，用含有2位小数的十进小数-100.00表示它；……；这样我们就有了误差界为1/100的近似数轴；再继续下去，我们又有误差界等于1/1000、1/10000、……之下的近似现实数轴序列。我们称这个近似现实数轴序列为全能近似数轴序列。
在这个全能近似数轴上，存在着与所有的无限循环和无限不循环小数对应的全能近似点列；根据第三章中的实数公理和第四章中的理想点公理，这些全能近似点列的极限的集合是与所有理想实数一一对应的理想点的集合。于是我们又可以提出下边的定义。
定义3  全能近似数轴的极限叫做理想数轴。
根据第三章中理想实数的完备性定理与第二章中“任何直线段长度都可以用理想实数表示”的性质，我们在提出如下的数轴完备性公理。
公理1（数轴的完备性公理） 在理想数轴上，除了与理想实数一一对应的理想点之外，没有其它理想点
根据上述定义与公理，我们应当说：1º我们的数轴概念是既有理想又有近似的两者相互依赖的太极图式的数轴概念。 但是我们也必须知道：理想直线作为与理想实数一一对应的理想点的集合的说法是一种无法实现的理想；能与实践联系的说法必须是：线段是由近似点组成的观点。关于相邻点的问题，应当是：对于理想点，无法提出“相邻两点”的概念与名词，但对近似点可以提“相邻两点”的问题。2º 理想实数集是“近似实数集”的极限（这一点已在第五章具体说明了）；理想实数集是人们无法构成的集合。这是应用实数集时必须注意的性质。3º我们的数轴完备性公理是依赖于理想实数集完备性与上述三个定义提出的公理。现行实数理论中有实数连续性的说法，但是根据理想点没有大小，理想点不能构成有长度的线段的事实，我们不使用连续性这个名词。但是在第一章，我们已经讲过：任何线段的理想长度都是一个理想实数的论断，我们完全可以说：解析几何有了根据。此外，还需要指出：虽然我认为理想点不能构成线段，但理想点依赖于近似点，所以可以提出理想点的邻域系，从而可以建立讨论邻接性、连续性的拓扑空间理论。4º这个数轴概念虽然不同于现行数学分析中的数轴概念，但在本质上可以说是一致的，我们只是深入地阐述了它的实际来源与用法。5º我们的数轴概念，是不容许非标准分析中的超实数存在的数轴概念。事实上，文献[1]讲到实无穷小数时，用到了“显微镜”，但是对于没有大小的理想点，使用显微镜时它仍然是没有大小的，所以实无穷小数时不存在的。至于实无穷大自然数在数轴上的存在也是有问题的。事实上，若有无穷大自然数存在，那么我么可以提出：“有没有最小的无穷大自然数，这个最小的无穷大自然数的前一个有限自然数是什么呢？”这显然是他们无法回答的问题。所以，无穷大自然数也是数轴上不能容许的数。 这两个问题就可以看作是：那个难以理解的非标准分析是不需要的一个理由。

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1º我们的数轴概念是既有理想又有近似的两者相互依赖的太极图式的数轴概念。 但是我们也必须知道：理想直线作为与理想实数一一对应的理想点的集合的说法是一种无法实现的理想；能与实践联系的说法必须是：线段是由近似点组成的观点。关于相邻点的问题，应当是：对于理想点，无法提出“相邻两点”的概念与名词，但对近似点可以提“相邻两点”的问题。

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