向量旋转

caokai1984

图片上传后不清晰了.正面图片中向上为Z轴,向右为Y轴.虚线代表旋转后位置.另外还有个大的错误,在侧面图形中虚线应该是向上移动,我这里画反了!

caokai1984

继续等待...

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/07/23 05:46pm 第 1 次编辑]

下面引用由caokai1984在 2009/07/23 01:50pm 发表的内容：
那我下面的理解是不是正确的?
一个点(X1,Y1,Z1)经过旋转到点(X2,Y2,Z2),并不是都能通过若干绕X轴或绕Y轴或绕Z轴的旋转矩阵,来与点(X1,Y1,Z1)相乘转化到点(X2,Y2,Z2),对吗?

总之一句话，几个同时发生的旋转运动，总是可以合成一个旋转运动，合成的法则，必须遵守“旋转向量的相加原理”。
也就是说，每一个旋转运动都有一个对应的“旋转向量”，合成的旋转运动，对应于这些“旋转向量”的相加。
绕 x 轴的旋转运动，对应于一个方向在 x 轴上的“旋转向量”；
绕 y 轴的旋转运动，对应于一个方向在 y 轴上的“旋转向量”；
绕 z 轴的旋转运动，对应于一个方向在 z 轴上的“旋转向量”。
任何一个空间旋转运动的“旋转向量”，总是可以分解为 x,y,z 三个坐标轴方向上的向量的相加，
所以，任何一个空间旋转运动，总是可以分解为绕 x,y,z 三个坐标轴的三个同时进行的旋转运动。
但是，如果我们把三个旋转运动减少为两个，比如说，只允许绕 x,y 轴旋转，不允许绕 z 轴旋转，
那么，一个任意的空间旋转运动，就不一定能够分解为这两个旋转运动了。
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第 11 楼的图看不清楚。我对“选档”过程到底是怎么一回事，也不太明白。
不过有一点要注意：我们讨论的是几个同时进行的旋转运动的合成，不是分成几次进行的旋转运动的合成。

caokai1984

luyuanhong ，您好！前几天因为出差一直没上过网！
我在一本空间机构设计的书上看到，向量是可以经过三次旋转到达同样模大小的另一点，先绕Z轴旋转A角，再绕X轴旋转B角，最后再绕Z轴旋转C角即可。
现在我有一个向量（X1，Y1，Z1）， 经过旋转到了（X2，Y2，Z2）。请问LU教授，如何来求A角，B角，C角？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/12 06:12pm 第 1 次编辑]

下面引用由caokai1984在 2009/08/12 02:48pm 发表的内容：
我在一本空间机构设计的书上看到，向量是可以经过三次旋转到达同样模大小的另一点，先绕Z轴旋转A角，再绕X轴旋转B角，最后再绕Z轴旋转C角即可。
现在我有一个一个向量（X1，Y1，Z1）， 经过旋转到了（X2，Y2，Z2）。请问LU教授，如何来求A角，B角，C角？

你这个问题，讨论的是分成几次进行的旋转，不是几个同时进行的旋转，所以与前面帖子中讨论的问题，是根本不同的两回事情。
对于你的问题，解答如下：

caokai1984

谢谢您。我先用MATLAB演算一下！

caokai1984

我取向量（0，2，0）旋转到（-1，根号2，1）。使用您提供的式子确实是正确的！
但是MATLAB利用SOLVE函数，发现A=pi/3,B=pi/2,C=-54.7347°时一样可以。这是怎么回事呢？A,B,C角是不确定的吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 caokai1984 在 时添加 -=-=-=-=-

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/12 08:46pm 第 1 次编辑]

下面引用由caokai1984在 2009/08/12 06:33pm 发表的内容：
我取向量（0，2，0）旋转到（-1，根号2，1）。使用您提供的式子确实是正确的！
但是MATLAB利用SOLVE函数，发现A=pi/3,B=pi/2,C=-54.7347°时一样可以。这是怎么回事呢？A,B,C角是不确定的吗?

对，A,B,C 角是不确定的。
这个问题，看起来是3个未知数（A,B,C），要满足3个方程（要得到 X2,Y2,Z2），应该不会有无数多解。
但是，由于两个向量模长相等，X2,Y2,Z2 的平方和是定值，3个方程中只有2个方程是完全独立的，所以会有无数多解。
我在上面给出的解，是其中比较简单的一种解。
我们可能会产生这样的想法：既然只有2个完全独立的方程，能不能把旋转次数也减少为2次，只要 A,B 两个角就行了？
可惜，如果将绕轴旋转次数减少为 2 次，有些向量变换就无法完成。
比如说，向量 (0,3,4) 就无法通过先绕 z 轴旋转一次，再绕 x 轴旋转一次，变到 (5,0,0) 。

caokai1984

看了您的回答，我对向量旋转有了更深的认识。特别是您在最后提出的有些向量无法由两次旋转完成的事例，解决了我还没问的一个问题，呵呵，使我明白两次旋转确实不可以。

caokai1984

下面我想回到我遇到的实际问题，请LU教授能再帮忙研究。
对于一个换档杆，前面您说不太清楚，这里我再描述下看能否理解。简单说它就是个“十”字型的结构，而且是固定连接的。
最左端假设是原点，最右端假设为A点，初始位置已知（X1，Y1，Z1），最上边是B点，初始位置也已知，为（X2，Y2，Z2）。经过换档过程操作后，A点到达位置
（X3，Y3，Z3）。我想通过求出旋转角再求出B点旋转到什么位置？
由（X1，Y1，Z1）到（X3，Y3，Z3），经过您上面的描述无法求解出唯一旋转角，也就无法求出B点唯一的位置。加上A点与B点始终垂直的条件可以吗？好像不行？不知是不是？ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 caokai1984 在 时添加 -=-=-=-=-
我觉得在这个问题中，因为是“十”字连接，而且是刚性的，asin(z3/模长)就是绕X轴旋转的角大小，不知是不是？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 caokai1984 在 时添加 -=-=-=-=-
我觉得在这个问题中，因为是“十”字连接，而且是刚性的，asin(z3/模长)就是绕X轴旋转的角大小，不知是不是？