也将此题存档

moranhuishou

本人之证明没有考虑是否是平方数。仅仅考虑无整解,因为方程无整解与无有理数解完全等价，所以命题得证。

moranhuishou

也就是说----
这个方程在有理数域是不成立的，但是他又有实数解，所以这个解必为无理数，由x为无理数，不难推出x^2亦为无理数。
大概很少有人会从这个角度来考虑证明这样的命题。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/25 09:08am 第 2 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/09/23 09:15am 发表的内容： 代入（*）,整理得 d^2-2(a+b)d-(a^2+b^2) 同样，因为 (a+b)^2<>a^2+b^2 所以 d 不可能为整数，...

楼主的证明中，用“(a+b)^2<>a^2+b^2”来证明 d^2-2(a+b)d-(a^2+b^2) 中的 d “不可能为整数”。 不知道楼主是根据什么逻辑来推导的？ 假如楼主的推理可以成立，下面这样的推理也应该可以成立： “ d^2-2(a+b)d-2ab＝0 ， 因为 (a+b)^2<>2ab ， 所以 d 不可能为整数。” 但是，事实上，这个式子中的 d 完全可以取整数值，例如当 a=4 ，b=5 时，有整数解 d=-2 ： d^2-2(a+b)d-2ab＝(-2)^2-2(4+5)(-2)-2*4*5＝4+36-40＝0 。 从这个反例可以说明，楼主在第一楼中的推理： “代入（*）,整理得 d^2-2(a+b)d-(a^2+b^2) 同样，因为 (a+b)^2<>a^2+b^2 所以 d 不可能为整数，...” 其实是没有道理的。

moranhuishou

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab<>a^2+b^2, 因为a与 b<>0.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/25 09:31am 第 2 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/09/25 09:17am 发表的内容： (a+b)^2=a^2+b^2+2ab<>a^2+b^2, 因为a与 b<>0.

我问的不是“为什么有 (a+b)^2<>a^2+b^2 ”，而是问： “为什么可以用 (a+b)^2<>a^2+b^2 来证明 d^2-2(a+b)d-(a^2+b^2) 中的 d 不可能为整数。 不知道你是根据什么逻辑来推导的？”

moranhuishou

d若有解（这里指重根方程，因为我们已经将两个解的方程化为了两个重根方程），设d=r,则有（d-r）^2=d^2-2dr+r^2
不能满足此式的均不成立
我想，luyuanhong先生正是将重根与两个根的方程弄混了。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/25 11:54am 第 4 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/09/25 09:30am 发表的内容： d若有解（这里指重根方程，因为我们已经将两个解的方程化为了两个重根方程），设d=r,则有（d-r）^2=d^2-2dr+r^2 不能满足此式的均不成立 我想，luyuanhong先生正是将重根与两个根的方程弄混了。

下面，我模仿楼主的推理方式，作下列“证明”，请问：这样的推理对不对？ 题目：若 a，b 为整数，并且 2ab = 2（a + b）x + x^2，则 x 和 x^2 均为无理数。 证明（第一种情况）如下： 整理方程得 x^2 + 2（a + b）x - 2ab = 0 方程若有重根，设 x = u 则方程可化为 （x-u）^2 = x^2 - 2ux + u^2 = 0 可设 a+b = -u , 当有 (-u)^2 = -2ab 这无论 a b 为任何值都是不可能的，所以 x 无整解。 不难证明，x 必为无理数。 第二种情况道理相同—— 证明（第二种情况）如下： 整理方程得 x^2 + 2（a + b）x - 2ab = 0 方程若有二根，设 x1 = c , x2 = d . 则方程可化为 x^2-(c+d)x+cd = 0 c+d = -2(a+b) (*) cd = -2ab 将 c = -2ab/d 代入（*）,整理得 d^2 - 2(a+b)d - 2ab = 0 同样，因为 (a+b)^2 <> 2ab 所以 d 不可能为整数，据（*）, c 也不可能为整数。 所以 x 不可能为整数。 不难推出，x 必为无理数，x^2 亦同样必为无理数。 0k.

moranhuishou

陆先生的这个反例确实很有力，刚看了看，现在还实在找不出推翻这个“驳论”的理由。
不过这个反例指的是“2ab”不成立而不是“a^2+b^2”不成立，这里面肯定是有原因的，我再找找。

moranhuishou

又看了看陆先生的这个驳论，解答如下：
由于勾股定理成立，所以
方程
d^2 - 2(a+b)d - 2ab = 0
是有整解的。
最后的结果是
因为
（a+b）^2-2ab=a^2+b^2是可以为完全平方数的。
但由于在勾股方程中a b互素
（a+b）^2-（a^2+b^2）=2ab
不可以成为平方数的，所以
陆先生这个驳论是推不翻我的证明的。
当然，严格说来，这个证明是需要把这一部分内容加上的，所以也可以说陆先生已经把我的原证明推翻。
不过即使此驳论不成立，也打心眼里非常佩服陆先生，因为一般人是做不出来这样漂亮的驳论的。

（写的可能不太详细，也可能还有理解错误。不过现在有事，暂时下了，再谈。）

luyuanhong

从楼上帖子可以看出，楼主还是能够认认真真、实事求是地考虑问题的，而不是胡搅蛮缠、死不认错的，这一点值得表扬！