【趣题征解】设 n 是大于 1 的正整数，证明： 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

FARSPACEMAN

[伯特兰—切比雪夫定理]
对于所有大于1的整数n，存在一个素数p，满足n < p < 2n。

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/09/30 01:02pm 第 3 次编辑]

下面引用由00000000在 2009/09/30 00:46pm 发表的内容：
此题结果为 e 约等于 2。718...，故不是整数！

显然“此题结果为 e ”是不对的。
当n=2时，原式=3/2，就不等于e。
这道题是对所有大于1的整数n讨论的，因此要证明n=2,3,4,……时，原式都不是整数，才行，而不能只证明n趋于正无穷时原式的极限不是整数。
也许楼上知道1+1/（1！）+1/（2！）+1/2（3！）+……+1/（n！）+……等于e，
但是这与题目完全没有联系了。

FARSPACEMAN

这个题目确实有些难度。这里有一条定理可供参考：
[伯特兰—切比雪夫定理]
对于所有大于1的整数n，存在一个素数p，满足n < p < 2n。
如果没有思路，就参考这个定理来做做看吧。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/09/30 01:16pm 发表的内容：
这个题目确实有些难度。这里有一条定理可供参考：
对于所有大于1的整数n，存在一个素数p，满足n < p < 2n。
如果没有思路，就参考这个定理来做做看吧。

下面引用由00000000在 2009/09/30 00:46pm 发表的内容：此题结果为 e 约等于 2。718...，故不是整数！

这水平！！！唉。

申一言

  注意!
        a1=1/1+(1/2+1/3+...+1/n),  0--1--2
        a2=2/2+(2/3+2/4+,,,+2/n),  0--1--2
        a3=3/3+(3/4+3/5+,,,+3/n),  0--1--2
         *             *      *
        ai=i-1/i-1+i-1/i+,,,+i-1/n,0--1--2
   lim∑an=a1+a2+,,,+ai=2(1×1)=2×1^2=2"
  n→∞

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/09/30 03:33pm 第 2 次编辑] 这题本不想做的，太繁琐。但看来会做的人不多，大都不得要领，就费点事吧——相信这个证明是正确的（也不排除会有笔误），就是繁琐点——但做题思路是清晰的。 设1+1/2+1/3+…+1/n=k/m ，n>1 只需证明k/m恒互素，也就是说k中不含m之任何因子即可。即证明 （k,m）=1. 用归纳法： n=2,1+1/2=3/2; n=3,3/2+1/3=11/6; n=4,11/6+1/4=25/12; n=5,25/12+1/5=137/60; n<6时k中没有m之任何因子. 假定n=n0时亦如此，即 其和= k0/m0. k0中没有m0之任何因子. 我们只需证明 当n=n0+1=n1时， k1中没有m1之任何因子即证明了命题. 计算 k0/m0 + 1/n1 已知m0=2^(a1)*3^(a2)*...*pn(an). k0不含m0的任何因子。 m0与n1通分 设m1=2^(b1)*3^(b2)*...*pn(bn). 设（m1,m0）=G k0/m0 + 1/n1=(R+r)/m1 R=m0×G，r=m1/G 因为m0中无m1之因子，G为m1之因子，所以R与m1有同因子G,而r不含因子G,所以k1=R+r不含因子G; 另，m0与m1无同因子，也就是R除了与m1有同因子G之外没有别的共同因子。而r正好相反，除了没有共同因子G之外其它因子与m1相同。 所以k1=R+r与m1没有任何共同因子。 (k1.m1)=1 命题得证。

luyuanhong

很高兴看到大家积极参与这题的讨论。
下面我作一个提示，大家看看能不能找到一个简单而又巧妙的证明：

moranhuishou

是的，这样展开可以看出：分子恒为奇数，分母恒为偶数；
不过还有一个规律，分子恒为3n之数，分母恒非3n之数,n>2.
分子恒为5n之数，分母恒非5n之数,n> 4.
...
分子恒为pn*n之数，分母恒非5n之数,n> n0.

结论：分子分母没有共同因子。

FARSPACEMAN

我的证明

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/09/30 05:41pm 发表的内容：
我的证明

题目就没有弄明白！