[讨论]什么是实数系的连续性

wanwna

[这个贴子最后由wanwna在 2009/10/10 04:04pm 第 1 次编辑]

对于满足以下条件的集合A,B:
A,B不为空集
A,B并集为R,交集为空
A里的任何元素小于B里的任何元素
则:
A集合有最大元与B集合有最小元两者必然其中一个成立,而另一个不成立.

ygq的马甲

下面引用由elimqiu在 2009/10/10 06:32am 发表的内容：
我想这个问题很能反映论坛的学风。毕竟这是一个需要学习才知道怎么回答的问题。也是一个要花点功夫才能生动回答的问题（否则就是背书了）

【有限】和【无限】是另外的一对关系，而【有限】是 R(·,·)="∈" 的定性特征
人们还是比较习惯【有限】的，即 R(·,·)="∈"

fleurly

刚查资料： 原来实数集合的连续性就是确界存在定理： 实数集合的一个有界子集必有上确界或下确界 实数集合的连续性与完备性等价： 实数集合的连续性（确界存在定理） <<---->> 单调有界数列收敛定理 <<---->> 区间套定理 <<---->> Weierstrass定理 <<---->> 柯西收敛原理(实数集合的完备性)

ygq的马甲

“说来说去”说到底，实数是“常数”层次的
在“概念”层次上有些区别，例如拓扑学的“连通性”[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

“常数”层次，有些类似于低“维”度的投影

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/10/11 02:55am 第 1 次编辑]

下面引用由wanwna在 2009/10/10 01:51pm 发表的内容：
对于满足以下条件的集合A,B:
A,B不为空集
A,B并集为R,交集为空
A里的任何元素小于B里的任何元素
则:
A集合有最大元与B集合有最小元两者必然其中一个成立,而另一个不成立.

这是实数连续的十分本原的理解。戴德金就是以此作为目标性质从有理数集来构造实数集。
我们来看看如何直观地解读这个见解。
对一个有序(全序)集S， 若A，B为其子集并满足
（1）A,B不为空集
（2）A,B并集为R,交集为空
（3）A里的任何元素小于B里的任何元素
则称(A,B)为S的一个划分。
如果(A,B)是有序集S的一个划分，则A中的最大元，B中的最小元称为这个划分的分点。
对任意有序集的任意划分而言，以下情形必居其一：
(i)没有分点 &#160;(ii)有一个分点[我们不在乎分点属于A还是B] (iii)有两个分点
现在我们可以说实数系R的连续性的意思是：
R的任意划分都是终极的，即没有余地(这涉及稠密性)在‘划分处’‘插入’新的元，来扩充R，这也就是fleurly所说的完备性的‘划分’说法。
( i) 可以表示为 &#160; &#160;… a …)(…b…
(iii) 可以表示为 &#160; &#160; &#160; … a] [b…
有序集S的子集Q叫作开集， 如果对I的每个点 x, 都有S的某元 u,v 使 u < x < v 且
{ y | u < y < v, y ∈ S } 整个儿包含于Q。
有序集叫作连通的，如果它不是两个非空集会E1，E2的并，E1含于开集Q1，E2含于开集Q2，且Q1与Q2不交。
希望各位能够看出R是连通的。 也能看出划分情形 (i),(iii) 对应序集的不连通。&#160;


[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
我们会谈到实数连续性的其它等价表达。欢迎各位的问题和见解。欢迎生动的连续性解读

申一言

下面引用由elimqiu在 2009/10/11 02:52am 发表的内容：
这是实数连续的十分本原的理解。戴德金就是以此作为目标性质从有理数集来构造实数集。
我们来看看如何直观地解读这个见解。
对一个有序(全序)集S， 若A，B为其子集并满足
（1）A,B不为空集
...

    老师所言对于俺来说是太深奥了!
    但是人们一看中华单位群的分布可能会一目了然!?
   B2=(Nn)^1/2
    , ________________
    ,↑              ↓
    ,↑     S=N^2    ↓ N→∞
  √3↑              ↓
  √2↑□□A=(√Nn)^2↓ n=1,2,3,,,
     0_□□__________↓
      1/2 1/3 1/4,,,,,B1=Q/P,P＞Q.
     请老师批评指教!

ygq的马甲

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/11 10:40am 第 1 次编辑]

在“概念”层次上有些区别，例如拓扑学的“连通性”

.

希望各位能够看出R是连通的。 也能看出划分情形 (i),(iii) 对应序集的不连通。

如果是“连续”的，那么必定是“连通”的。反之，如果是“连通”的，那么必定是“连续”的
这，是从几何“模型”上得出的观点，即“同义重（反）复ｔａｕｔｏｌｏｇｙ”

elimqiu

下面引用由ygq的马甲在 2009/10/11 10:34am 发表的内容：
如果是“连续”的，那么必定是“连通”的。反之，如果是“连通”的，那么必定是“连续”的
这，是从几何“模型”上得出的观点，即“同义重（反）复ｔａｕｔｏｌｏｇｙ”

这里谈的本来就是实数系的拓扑性质。连续与连通在一般拓扑学中并不是等价的概念。

ygq的马甲

下面引用由elimqiu在 2009/10/11 04:04am 发表的内容：
这里谈的本来就是实数系的拓扑性质。连续与连通在一般拓扑学中并不是等价的概念。

能否举一个不等价的【实例】 ？？？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

所谓的“连通”，更象是用在“一分为多（Ｎ≥３）”方法的场合

elimqiu

下面引用由申一言在 2009/10/11 10:23am 发表的内容：
    老师所言对于俺来说是太深奥了!
    但是人们一看中华单位群的分布可能会一目了然!?
    ________________
...

还是先把定义，记号的意义等说明了再谈结论么。