对傅里叶级数的吉布斯（Gibbs）现象的一点疑问。

fm1134

如果我没有理解错的话，陆老师10楼帖子的意思是说：不论n取多么大，过冲点始终都
是存在的，它存在于与间断点x0相距非零无穷小的位置上。但是傅里叶级数收敛定理
明确指出：当n→∞时，级数在连续点处均收敛于f(x),间断点x0处收敛于[(f(x0+0)+f
(x0-0)]/2，即：当n→∞时，这样的过冲点是不存在的。这与陆老师的结论是不一致
的。这该如何解释呢？

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2009/11/28 02:02am 发表的内容：
如果我没有理解错的话，陆老师10楼帖子的意思是说：不论n取多么大，过冲点始终都
是存在的，它存在于与间断点x0相距非零无穷小的位置上。但是傅里叶级数收敛定理
明确指出：当n→∞时，级数在连续点处均收敛于f(x),间断点x0处收敛于[(f(x0+0)+f
(x0-0)]/2，即：当n→∞时，这样的过冲点是不存在的。这与陆老师的结论是不一致
的。这该如何解释呢？

我的结论，与 Fourier 级数收敛定理并没有矛盾。
Fourier 级数收敛定理，是标准微积分中的定理，标准微积分是根本不承认有“非零无穷小量”存在的。
所以，在 Fourier 级数收敛定理里，说到收敛的点，并不包括与 x0 的距离为一个非零无穷小量的点。
Fourier 级数收敛定理说：当 n→∞ 时，级数在连续点处均收敛于 f(x) ，这里说到的“连续点”，
指的不是与 x0 的距离为非零无穷小量值的点、而是与 x0 的距离为一个普通正实数值的点。
当 n→∞ 时，过冲点不会停留在与 x0 相差一个正实数值的点上，所以在这样的点上，级数当然是收敛的。
在不连续点 x=x0 处，级数当然也是收敛的。所以 Fourier 级数收敛定理的结论都是正确的。
那么，过冲点到哪里去了呢？按照标准微积分的观点，看来是无法回答这个问题的。
只有承认“非标准分析”观点，才能回答这个问题：
当 n→∞ ，也就是 n 为无穷大正整数时，过冲点的位置落在与 x0 的距离为非零无穷小量值的点上。
在与 x0 的距离为非零无穷小量值的点上级数是不是收敛， Fourier 级数收敛定理根本没有提到。
所以，我的结论，与 Fourier 级数收敛定理并没有任何矛盾。

ccmmjj

以前我没有留心过这个问题，陆老师的贴子让我学了不少东西。但是我一向对“非标准分析”不以为然，而且“非零无穷小量”的概念是数学分析的老东西，它是一些不同层级的变量。以前（牛顿时代）有一个主教反对微积分时，就说它是一个消失的数的幽灵。后来经过严密化后这样反对的人就不多了。欧拉是数学分析的大师，他定的一本名著的名字就叫做《无穷小分析》。我还记得看过有关物理学的书籍，其中有对脉冲信号的付立叶分析的内容，恕我直言，也没有看到需要什么“非标准分析”的工具。我觉得 f(x)的付立叶逼近 在间断点的反应，和此没什么区别，为什么要用它来解释？
我这个人一向言语直率，有什么不对的地方，还请陆老师见谅。[DISABLELBCODE]

fm1134

要想驳倒“非标准分析”，最好的办法就是拿出比它更合理的解释来！

ccmmjj

“非标准分析”岂是可以驳倒的？它是一个自洽的体系，只有在感情上接不接受的问题。当我们在做分析思考的时候，很自然地将0或∞周边想象出一个去心邻域，这些所谓的无穷小或无穷大，都是按照一定速率进入这个邻域，无限接近但不一定能到达的变化量。这是多美的数学涵义，岂能被如此的庸俗化呢？

明野

那么，是不是可以说，在非标准分析意义上，吉布斯现象证明，傅里叶级数在间断点邻域不收敛？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/05 09:57pm 第 1 次编辑]

下面引用由明野在 2012/04/05 09:29am 发表的内容： 那么，是不是可以说，在非标准分析意义上，吉布斯现象证明，傅里叶级数在间断点邻域不收敛？

能不能说“傅里叶级数在间断点邻域不收敛”，要看“邻域”是怎样定义的。 在标准分析中，“间断点 x0 的 δ 邻域”，是满足 0<|x-x0|<δ 的区域，在这样 一个邻域中，x 与 x0 的距离可以很小，但总是一个正实数，不可能是正无穷小 （因为在标准分析中，是不承认有“正无穷小”这样的数存在的）。而对于一个 与间断点 x0 的距离是一个正实数的 x 点来说，在这 x 点处，傅里叶级数必定 是收敛的。所以，如果“邻域”是按照标准分析来定义的“正实数邻域”，那么， 我们就不能说：“傅里叶级数在间断点邻域不收敛”，而应该认为：“傅里叶级数 在间断点的邻域内总是收敛的”。 在非标准分析中，除了正实数以外，还可以有“正无穷小”这样的数，因此，也就 可以有“间断点 x0 的正无穷小邻域”，即满足 0<|x-x0|<ε 的区域，其中 ε 是 一个正无穷小量。当 n→∞ 时，吉布斯现象的“过冲”突起，一定会落在这样一个 “x0 的正无穷小邻域”中，所以，如果“邻域”的定义，是包括“正无穷小邻域” 在内的，那么，我们就不能说：“傅里叶级数在间断点的任何邻域内总是收敛的”， 而必须承认：“傅里叶级数在间断点的某个正无穷小邻域内是不收敛的”。

明野

这个问题在理论上已经很清楚，但在实际应用中，似乎还存在疑问。
就以上述的图形实例为例，这个存在阶跃的周期函数f(x)是标准函数还是非标准函数。按照所讨论的结论，它好像属于非标准函数。因为在间断点x0处，按非标准的无穷小邻域函数才有意义，否则，函数在该处的取值是不确定的。
另外，在x0点，傅里叶级数仅收敛到函数在该处的中值，并非收敛到原函数本身。所以在该点似乎也不能认为傅里叶级数是收敛的。
如果傅里叶级数在间断点不收敛，那么，在间断点的无穷小邻域也不收敛就成为顺理成章的事。
似乎可以得出结论：在间断点及其无穷小邻域傅里叶级数不收敛。

明野

如此说来，傅里叶级数的收敛条件就不是简单的狄里赫利条件，其中关于间断点的限制是否应修改为：周期内可以有有限个一类间断点，但收敛区间不包括间断点及其无穷小邻域。

luyuanhong

下面引用由明野在 2012/04/10 07:38am 发表的内容：
如此说来，傅里叶级数的收敛条件就不是简单的狄里赫利条件，其中关于间断点的限制是否应修改为：周期内可以有有限个一类间断点，但收敛区间不包括间断点及其无穷小邻域。

总之一句话：标准分析与非标准分析，是两个不同的数学体系。
如果我们是在标准分析的体系中讨论问题，函数是标准分析的函数，收敛是标准分析的收敛，
那么，标准分析一切定理的结论都是成立的，包括傅里叶级数的收敛条件和结论。
如果我们是在非标准分析的体系中讨论问题，函数是非标准分析的函数，收敛是非标准分析
的收敛，那么，就要承认，傅立叶级数在间断点的一个无穷小邻域内不收敛。