[趣题征解]推广的等腰三角形判定理

ccmmjj · 发表于 2009-10-23 09:30

定理1a的证明：借用5楼的图，由AF/FB=AE/EC，得EF平行于BC，四边形EFBC是梯形。由EB=FC，得对角线相等的梯形是等腰梯形。得角ABC=ACB，知AB=AC。
定理1a的推广：如果引入有向线段，这个比值可以是负数，但要排除一个数（请思考）
定理2b的证明：先说明同圆内相等的两弦轴对称，两对称点连线必垂直于对称轴，故互相平行。所以其形成的四边形必为等腰梯形或矩形。如本题它不可能是矩形。同上。
定理2b的推广：共圆点可以在三角形边的延长线上。
定理3c的证明：待续。
顺便问一句，kanyikan 是否就是gaocd?此人言语率直，几何高深。许久不见，还有些想看他的贴子。

luyuanhong · 发表于 2009-10-23 17:22

下面是我对推广的定理1a的证明：

ccmmjj · 发表于 2009-10-24 18:16

定理3c的证明先晾上几天.它不象1a和2b那样可以用文字几句话就说完的.提示一下,要用反证法哦.

kanyikan · 发表于 2009-10-24 18:57

下面引用由ccmmjj在 2009/10/24 06:16pm 发表的内容：
定理3c的证明先晾上几天.它不象1a和2b那样可以用文字几句话就说完的.提示一下,要用反证法哦.

在一本书上找到了3c的证明，的确是反证法。
企图找直接证法，至今无果。

ccmmjj · 发表于 2009-10-24 20:26

在哪本书上有啊?我还一直以为这几题是我的原创呢!在暑假的时候我还想用"季明波三位一体定理"的名义发表它呢|

kanyikan · 发表于 2009-10-24 20:43

一本老书，
左宗明《世界数学明题选讲》
八、斯泰纳－莱默斯定理，
(二)关于定理的推广

ccmmjj · 发表于 2009-10-24 20:50

我的直接证明的思路是用函数的单调性,只是太不美观,所以就摒弃了.

kanyikan · 发表于 2009-10-24 21:03

下面引用由ccmmjj在 2009/10/24 08:50pm 发表的内容：
我的直接证明的思路是用函数的单调性,只是太不美观,所以就摒弃了.

直接证明确实不容易。

ccmmjj · 发表于 2009-10-29 16:50

定理3c：三角形内若有两分角成比例的线段相等，则此三角形是等腰三角形。

luyuanhong · 发表于 2009-10-30 18:11

下面是我对推广定理 3c 的证明：

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