[趣题征解]距离的和为最小值

bardo

请教楼上，为什么这四个单位向量的和为0时，距离的和最短呢？
你有没有考虑到：
(x-a)/║x-a║+(x-b)/║x-b║+(x-c)/║x-c║+(x-d)/║x-d║=0 之中
║x-a║、║x-b║、║x-c║、║x-d║任一项可能会是0的情况？
在这种情况下，方程是否有解？

ccmmjj

我都说这是猜的了.就象费马点是一个力平衡点一样,这个点应该也是一个力平衡点.
至于说要去做分析证明,我现在还没那个闲空.见谅.
还有,你说的║x-a║、║x-b║、║x-c║、║x-d║任一项可能会是0的情况下,那么是方程无解,点仍然存在,这就象平面三角形有一个角>=120度时费马点的状况一样,是那个钝角的顶点.不过我想在a,b,c,d,四点不共面的情况下,应该不会出现这样的问题.

bardo

[这个贴子最后由Bardo在 2009/10/25 05:02pm 第 4 次编辑]

谢谢你的回复！
因为，不仅的为0的情况，同时也有为负数的情况。但是，距离这个标量，实质上总是不小于0的。
看来，我应当从代数的角度来考虑，当你给出的表达式为0时，

我们要求的
|║x-a║| + |║x-b║|  + |║x-c║|  + |║x-d║|
的值是不是最小
实际上，这里最根本的也就是向量和或单位向量和与向量长度和的关系问题。
你给出的则是单位向量和

bardo

[这个贴子最后由Bardo在 2009/10/25 11:15pm 第 1 次编辑]

我个人认为，如果用向量运算，可能比较抽象。但不知使用四元数是否能够使得代数关系更为直观。
而整个问题的复杂度就在这里。按我的想象，四元数可能要比向量更加直观！

bardo

[这个贴子最后由Bardo在 2009/10/25 11:13pm 第 1 次编辑]

如果从三维空间几何考虑，实际上其正确的思路则是，对于
x-a，x-b，x-c，x-d分别与四个球面交点构成的四面体，四个三角形均有各自的费马点。由此构成一个新的四面体，我们可以继续找其各自的费马点。
当四面体逐步就得无穷小时，将汇聚于一点，即是我们要找的那一个点。
这也就是说，这里存在四面体无穷递归切分的问题。
我个人认为，这可能就是要求的点。实际，我并未加以证明。
不过，ccmmjj提出的以力的平衡点来求，可能是一个非常好的思路。

ccmmjj

关于使用物理原理解决数学问题的思路，古来有之。比较有名的是光行最短原理。伯努力曾经以此解决过最速降线问题，老兄你知道吗？
至于学术讨论，尤其是自然科学，不必杂以意气。意气之争，尤为隐没真知。

波浪

  
    Bardo 问题的二维类比，应该是如下问题：
    在平面上，有三个互不相交的圆，试求一点，使该点到三圆圆周距离之和为最小。

波浪

下面引用由drc2000在 2009/10/22 10:57pm 发表的内容：
若降为2维考虑可转化为斯坦纳问题：求一点到三角形三顶点的距离和最小，答案是费马点------对三边张角为120度弧的交点.(其中r1+r2+r3为定值,可不用考虑).某情况下,所求点为钝角三角形的顶点,等等,不一一而述.
扩展到三维情形:设球心为A,B,C,D.所求点为P,连PA,PB,PC,PD.
对一般情况，PA,PB,PC,PD中两两交角，似乎都该是120度。
证明应该可以仿照平面情形去做吧？

    球或圆应互在外面为理想状态。   
    支持 drc2000 的二维观点。至于三维空间关于四点情况的典型费马点，四个“空间角”应该是由正四面体重心向四个顶点所引出的四条射线，对特殊情况的讨论也类似于二维情况。