[趣题征解]单位球面上的一个不等式

elimqiu

谢谢waterwater先生。题目解得很漂亮。
这个问题很典型地说明了一般极值求法和仅对具体问题有效的解法可以有多大的不同。
对于这个题目，一般的Largrange数乘法给出的是高次的方程组，而waterwater的方法完全避开了这些难处。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
{(a,b,c) | a^2+b^2+c^2=1, a>0,b>0,c>0}
是单位球面在第一卦限中的部分。
你的变形， (1-b^2)/a=(a^2+c^2)/a 等等都用到了球面方程。
如果把原不等式左边各项的分母都换成绝对值，那么就是名副其实的球面上的不等式。

musicbug88

waterwater 的解答是错误的，a+b+c<=3*sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)

elimqiu

下面引用由musicbug88在 2010/01/27 08:55am 发表的内容： waterwater 的解答是错误的，a+b+c<=3*sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)

没看出来。a+b+c<=3*sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)=sqrt(3) 能解释一下吗？

musicbug88

[这个贴子最后由musicbug88在 2010/01/27 09:32am 第 1 次编辑] 要证>=, 但a+b+c<=3*sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)=sqrt(3),最后一步过不去。这个证明我也想过，但发现这通不过，我就用拉格朗日乘数法了，但觉得不够优美

elimqiu

waterwater 的分析是原不等式左边当且仅当a=b=c时达到最小值2(a+b+c)。此时a+b+c不再是变量，它只能是根号3。所以最后一步好像没有问题啊。

musicbug88

只有a^2+b^2+c^2是常量的，他放得太大了。真的有问题，你好好想想

ccmmjj

我支持 musicbug88 ，不是98吗？什么时候改的名？这个问题你看得太细了，数学专业出身的人，如果没有经验，也会上这个当。elimqiu 就上当了。

elimqiu

下面引用由ccmmjj在 2010/01/27 11:16am 发表的内容：
我支持 musicbug88 ，不是98吗？什么时候改的名？这个问题你看得太细了，数学专业出身的人，如果没有经验，也会上这个当。elimqiu 就上当了。

我支持 waterwater

tian27546

  10楼方法错误

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，