掀起“立方根原M”的红盖头，让我摸摸她的脸…………

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/11/09 07:40pm 第 2 次编辑]

下面引用由风花飘飘在 2009/11/09 01:12pm 发表的内容：
这个M到底是个啥东西呢？
它的几何意义又是怎样的呢？
希望大家帮助指点一下，谢谢！
再谢！

陆教授已经说了M的几何意义。我们可以再来看看复数乘法的意义。
首先，非零复数 a + ib = √(a^2+b^2) (cos x + i sin x)
其中x（称为幅角） 使 cos x = a/(√(a^2+b^2)) , sin x = b / (√(a^2+b^2))
√(a^2+b^2) （称为 a + ib 的模或长度）
其次，二复数 a+ib, c+id 相乘时，按照上面复数的几何解释就有(设y 是c+id 的幅角)
(a+ib)(c+id) =√(a^2+b^2) √(c^2+d^2)(cos x cos y - sin x sin y +i(sin x cos y + cos x sin y))
=√(a^2+b^2) √(c^2+d^2) (cos(x+y)+i sin(x+y))
所以复数积的几何意义就是将幅角相加，模相乘。这也就是
cos (2kπ/3) + i sin(2kπ/3) 的立方等于 cos (2kπ) + i sin(2kπ) = 1，即它是1的立方根的理由。这里k是任意整数。
对非负的k,注意到 k = k-3[k/3]+3[k/3]=k1+3k2, 其中[]是取整数部分，k1∈{0,1,2},k2是整数。于是
cos (2kπ/3) + i sin(2kπ/3) = cos (2k1π/3) + i sin(2k1π/3)
而后者能取到的值恰为 1，-1/2±i(√3)/2
对于负的k,稍作处理就能化为k为非负的情形。所以1的3次代数根恰有上述三个。
再扩充一下就有
a + ib = √(a^2+b^2) (cos x + i sin x) 的 m 次代数根为
(a^2+b^2)^(1/(2m)) (cos (2kπ/m+x/m) + i sin (2kπ/m + x/m)), k = 0,1,...,m-1
对b=0,即实数的情形就有a的m次代数根为
(|a|^(1/m))(cos(2kπ/m + tπ/m)+i sin(2kπ/m + tπ/m)), k = 0,1,...,m-1,  当 a ≥ 0时 t = 0,否则t=1
即实数的m次代数根等于其绝对值的m次算术根乘以1(或-1，如果原实数为负)的m次代数根。
注意这里我们提到了实数的m次算术根的概念：
当m为奇数,a为任意实数，或m为偶数而a非负 时实数a的m次算术根是一个唯一的实数r，使得 r^m = a
所以算术根和代数根是很不同的东西。

尚九天

下面引用由风花飘飘在 2009/11/10 07:09pm 发表的内容：
单位圆的所有半径共有多少根？哈哈……

    圆周上有多少个点就有多少根，哈哈 .......

申一言

下面引用由尚九天在 2009/11/10 07:17pm 发表的内容：
    圆周上有多少个点就有多少根，哈哈 .......

       哈哈!
           一老一小,在嬉笑中终于走上了正道!
            n个吗!
            n→∞.
     1.X=1,       0--1
     2.X^2=1  -1--0--1
        *
        *
        *
    n.X^i=1,       *

changbaoyu

     一百易
增加减少预寒潮·
生一身体健康保·
二做三衍百年定·
生死自明潜显中·                                                      

尚九天

    不是“王八蛋”根！
    因为圆周上只能有偶数个点，
    所以半径就只能有偶数根.
                           ---- 错了管换，(实行三包)

尚九天

下面引用由尚九天在 2009/11/11 08:35pm 发表的内容：
不是“王八蛋”根！
    因为圆周上只能有偶数个点，
    所以半径就只能有偶数根.
                           ---- 错了管换，(实行三包)