[原创]加法合成方法数目函数

白新岭

下面引用由重生888在 2009/12/14 09:21am 发表的内容：
首先祝贺白新岭涵数得到认可!不知白新岭涵数能否用于哥猜?



加法合成数目函数可以用于歌猜。它的普遍的应用在限制条件下2元一次不定方程解的组数上。因为此函数是针对2元加法合成提出的，所以只能在偶数歌猜中运用。也规定m=2，如果m>2，加法合成数目函数还是有定义的，此时的合成方法数目总和为[φ(n)]^3,不在是2次了，方法总和为[φ(n)]^m

白新岭

昨天我从维基百科中看到原根的定义，自己晚上试着求一两自然数的原根。 例如10的原根有3，7；11的原根有2，6，7。大家有兴趣也看一看原根的定义，并试着求上一二个自然数的原根。下面是一个链接：

白新岭

今天用Excel软件处理了251的原根，正好100个，其互质数的幂数与模251的余数有这样的性质，余数1的出现次数相同的，其余数和基本相同（一般分成两部分），1出现的次数只能是5^k，或2*5^k，即出现1次，5次，25次，125次...；或者2，10，50，250，...。这样的次数。
原根→→1出现次数→→余数和
6→→1→→31375
11→→1→→31375
14→→1→→31375
18→→1→→31375
19→→1→→31375
24→→1→→31375
26→→1→→31375
29→→1→→31375
30→→1→→31375
33→→1→→31375
34→→1→→31375
37→→1→→31375
42→→1→→31375
43→→1→→31375
44→→1→→31375
46→→1→→31375
53→→1→→31375
54→→1→→31375
55→→1→→31375
56→→1→→31375
57→→1→→31375
59→→1→→31375
61→→1→→31375
62→→1→→31375
70→→1→→31375
71→→1→→31375
72→→1→→31375
76→→1→→31375
77→→1→→31375
78→→1→→31375
82→→1→→31375
87→→1→→31375
90→→1→→31375
95→→1→→31375
96→→1→→31375
97→→1→→31375
98→→1→→31375
99→→1→→31375
104→→1→→31375
107→→1→→31375
109→→1→→31375
111→→1→→31375
116→→1→→31375
120→→1→→31375
127→→1→→31375
129→→1→→31375
130→→1→→31375
132→→1→→31375
133→→1→→31375
134→→1→→31375
136→→1→→31375
137→→1→→31375
139→→1→→31375
141→→1→→31375
143→→1→→31375
145→→1→→31375
146→→1→→31375
148→→1→→31375
150→→1→→31375
158→→1→→31375
159→→1→→31375
162→→1→→31375
163→→1→→31375
165→→1→→31375
166→→1→→31375
167→→1→→31375
168→→1→→31375
170→→1→→31375
172→→1→→31375
176→→1→→31375
177→→1→→31375
178→→1→→31375
183→→1→→31375
184→→1→→31375
185→→1→→31375
186→→1→→31375
191→→1→→31375
193→→1→→31375
199→→1→→31375
202→→1→→31375
203→→1→→31375
206→→1→→31375
210→→1→→31375
212→→1→→31375
213→→1→→31375
215→→1→→31375
216→→1→→31375
220→→1→→31375
223→→1→→31375
224→→1→→31375
228→→1→→31375
229→→1→→31375
230→→1→→31375
234→→1→→31375
236→→1→→31375
238→→1→→31375
239→→1→→31375
242→→1→→31375
244→→1→→31375
248→→1→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→31375
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
2→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
5→→29618
10→→29618
10→→29618
10→→29618
10→→29618
10→→29618
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
10→→27610
25→→27610
25→→27610
25→→27610
25→→27610
50→→27610
50→→25100
50→→25100
50→→25100
125→→25100
250→→250

白新岭

上午发帖仓促，所以出现了错误，只要1出现的次数相同（在250次方中，不同余数的循环周期相同时），所有余数和一定相同，而不是基本相同（或者分成两部分），那是没有一起排序造成的，单独一列一列的排序造成上面对应结果，排序要一个记录条一起排序才可以，这样不会打破相关数据的链条。
在上面逢出现5^k次1的余数和都是C(251,2)=251*250/2=31375;
出现2*5^k次1的余数和有4种情况，只有出现250次1的余数和为250；出现2次1的余数和的值最大为29618；出现10次1的余数和为27610，与出现2次的余数和差值是（10-2）*251=2008；出现50次1的余数和为25100，与出现10次1的余数和的差为（50-10）*251/4=2510.看来各类余数和的差与251有关。
出现1的次数，与φ(n)的因子有关，出现1的次数一定是φ(n)的因子，即J(1)íφ(n),J(1)表示在φ(n)次方中，余数1出现的次数。

白新岭

1的出现次数一定是φ(n)的因子，而且每种组合的因子一定出现1次，最大的有且只有1回；假设φ(n)=m，一定有m个1出的a.例如上面的251，φ(251）=251-1=250，1出现的次数1.5，25，125，2，10，50，250都是250的构成因子。

白新岭

用k生素数群的逆元法能很快，一步获得k生素数群各余数的分布方法。
有全集I,和素数类元素构成的集合A,就可以获得合数类元素2维加法合成分布情况。
(I-A)^2=I^2-2IA+A^2=I*(I-2A)+A^2，在这个式子中，每类最少可有I-2A种合成方法，其余A^2种合成方法分别落到偶合数类上，分布规律与素数类元素的2维合成分布相同，再加上最少分配值I-2A就是所有合成方法数。
这里成功的运用了集合B与全集I及补集A之间的控制互补关系，正元与逆元关系，对立与同一的哲学思想。在这里，可以看到集合论，组合论，群论，数论之间的深密联系。

白新岭

如果以30为周期来刻画素数和的分布情况，我们可以用1，7，11，13，17，19，23，29这八类素数类元素进行2维加法运算，把结果对模30求余，然后统计余数0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28各自出现的次数。次数就是合成方法数目数，总方法有(3-1)^2*(5-1)^2=4*16=64.
如果要是求30以内合数类元素的2维加法运算的分布情况，我们可以用出去8类素数类元素以后剩下的合数类元素进行2维加法运算，共30个元素-8个素数类元素=22个元素，这22个元素会有22^2=484种合成方法，它们分布到30种余数上，比起素数的分布来还要复杂，规律更难发现。
在下边的两个问题上就可以比较出其难易程度：
第一题：求方程x+y=N符合条件的正整数解的组数，限制条件：x,y不含因子2，3，5.
第二题：求方程x+y=N符合条件的正整数解的组数，限制条件：x,y至少含2，3，5的因子之一，即这里的x,y是合数（当取2时不是合数）。
请大家亲自动手解一下就知道那种情况难，那种情况易。

ysr

您的函数与欧拉函数有相同的时候吗，还是完全不同？

白新岭

下面引用由ysr在 2010/12/19 04:12pm 发表的内容：
您的函数与欧拉函数有相同的时候吗，还是完全不同？

有时，此时n中一定是不同因子组成，没有相同的。例如n=6，30，210，2310，35，77时；其它的情况就不同了，如果把n表示成素数幂的连乘积形式，有且只有幂次为1时相同，其余情况不同。再一个函数是两个变量，这两个变量是以含因子的相同与不同来控制函数值的。

白新岭

余数→一周方法→二周方法→t前系数a→常数c→t=7
1→→0→→→14→→→14→→→0→→98
2→→0→→→17→→→17→→→0→→119
3→→0→→→14→→→14→→→0→→98
4→→1→→→16→→→17→→→1→→120
5→→2→→→12→→→14→→→2→→100
6→→3→→→17→→→20→→→3→→143
7→→4→→→10→→→14→→→4→→102
8→→5→→→12→→→17→→→5→→124
9→→4→→→10→→→14→→→4→→102
10→→5→→→13→→→18→→→5→→131
11→→6→→→8→→→14→→→6→→104
12→→7→→→13→→→20→→→7→→147
13→→6→→→8→→→14→→→6→→104
14→→8→→→9→→→17→→→8→→127
15→→6→→→8→→→14→→→6→→104
16→→7→→→10→→→17→→→7→→126
17→→8→→→6→→→14→→→8→→106
18→→11→→→9→→→20→→→11→→151
19→→8→→→6→→→14→→→8→→106
20→→11→→→7→→→18→→→11→→137
21→→8→→→6→→→14→→→8→→106
22→→10→→→7→→→17→→→10→→129
23→→10→→→4→→→14→→→10→→108
24→→15→→→5→→→20→→→15→→155
25→→10→→→4→→→14→→→10→→108
26→→14→→→3→→→17→→→14→→133
27→→12→→→2→→→14→→→12→→110
28→→15→→→2→→→17→→→15→→134
29→→14→→→0→→→14→→→14→→112
30→→21→→→1→→→22→→→21→→175
这是17楼的答案。当MOD(N,30)=i时，让i对应照余数，取t列所在行对应的系数a与t相乘，然后加上i行，常数列交叉处的常数就是答案，t=INT((n-1)/30),余数0对应第30行的系数a和常数项c，t的求法不变。