[讨论]试试证明这个有趣的论断

elimqiu

我有5本MO解题辞典(E书).因为主要兴趣不在解题上，可以说从来没有去翻阅过它们。这种翻印的pdf 文件很难搜索。倒胃口。如果有兴趣，我可以提供下载。
这个问题的解这几天一定贴出来。

tian27546

算了  给个推广型证证吧，本人不是老师 是学生（二年级），可能是以前习惯了  所以就打感叹号，不代表是什么语气哦  以后少用那个标点了 。
a、b、n是正整数，若（a^n＋b^n）÷[（ab）^n－1＋1]是整数c，则c就是n次方数，n≥2。

elimqiu

你没有被冒犯而动感情就好。不必拘束用词，大家了解了交流就方便了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
我这里上这个网没有什么保障，随时都可能上不了。要使我突然消失，可能就是这个原因。希望这种情况不发生

ccmmjj

下面引用由tian27546在 2010/05/14 10:00pm 发表的内容： 算了 给个推广型证证吧，本人不是老师 是学生（二年级），可能是以前习惯了 所以就打感叹号，不代表是什么语气哦 以后少用那个标点了 。
a、b、n是正整数，若（a^n＋b^n）÷是整数c，则c就是n次方数，n≥2。

才二年级啊！一定是班里的高才生。可喜可贺。星期六和星期日我不上网，无法交流，见谅。你给出的推广，我虽然想得到，却证不好，麻烦你以后出了题，要在一定时间内给答案，不然就没有什么意义了。那三角题，应该可以公布了吧？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/17 00:17pm 第 1 次编辑]

根据楼主 elimqiu 提示的思路，此题证明如下：

trx

该命题更深入解为：a=b^3或b=a^3皆成立!!!

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/05/17 02:23pm 发表的内容：
该命题更深入解为：a=b^3或b=a^3皆成立!!!

还可以得到下列更一般的结论，但是，这不能作为楼主在第 1 楼提出的命题的证明：

trx

luyuanhong  的上贴论证实在有点多余了！
其实只要把a=b^3或b=a^3代入（a^2+b^2）/(ab+1)即可！

elimqiu

谢谢各位的分享. 我也是刚刚理出了下面的思路

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/18 01:16am 第 3 次编辑]

下面引用由trx在 2010/05/17 07:40pm 发表的内容：
luyuanhong  的上贴论证实在有点多余了！
其实只要把a=b^3或b=a^3代入（a^2+b^2）/(ab+1)即可！

我在第 17 楼中得到的结论，远远超过了 trx 得到的结论。
例如，当 a=112 ，b=30 时，也可以使 (a^2+b^2)/(ab+1) 为整数，
这样的情形，就不包括在 a=b^3 或 b=a^3 中。
a=b^3 或 b=a^3 只不过是我的结论中当 n=2 时的一个特殊情形。