任何一组互质的勾股数，必能表示成 m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2 的形式

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/06/21 01:44am 第 1 次编辑]

下面引用由trx在 2010/06/20 07:11pm 发表的内容：
胡乱吹捧，一样无知！！

[color=#0000FF]   你只是证明了，
（m^2-n^2）^2+(2mn)^2=m^4+2(mn)^2+n^4; 而(m^2+n^2)^2=m^4+2(mn)^2+n^4。
而楼主说的任何一组互质的勾股数，你是凭什么说你所给的m^2-n^2，2mn，m^2+n^2这一组勾股数是互质的？你直接说这是一组勾股数的了，才简单，呵呵！

trx

下面引用由awei在 2010/06/21 01:34am 发表的内容：
    你只是证明了，
（m^2-n^2）^2+(2mn)^2=m^4+2(mn)^2+n^4; 而(m^2+n^2)^2=m^4+2(mn)^2+n^4。
而楼主说的任何一组互质的勾股数，你是凭什么说你所给的m^2-n^2，2mn，m^2+n^2这一组勾股数是互质的？你直接　...

连极简单的数学慨念都不知，你来此网站干什么？？！！

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/06/21 09:53am 第 2 次编辑]

下面引用由trx在 2010/06/21 07:39am 发表的内容：
连极简单的数学慨念都不知，你来此网站干什么？？！！

[color=#0000FF]
m^2-n^2，2mn，m^2+n^2
当m=4,n=2
m^2-n^2=12
    2mn=16
m^2+n^2=20
{12,16,20}，并不互质。
    人家楼主说的只要验证一组勾股数是互质的就可以表示为m^2-n^2，2mn，m^2+n^2的形式，
{12,16,20}可以表示为m^2-n^2，2mn，m^2+n^2的形式，但是{12,16,20}之间不是互质关系。
    那怎样在那么多组勾股数里找出一组可以写成m^2-n^2，2mn，m^2+n^2的形式的？按照楼主所证明的只要验证这组勾股数互质就行了。
在这个论坛上你是第一个比我X的，认识了，呵呵！

申一言

下面引用由awei在 2010/06/21 09:16am 发表的内容：
m^2-n^2，2mn，m^2+n^2

  这是天圆地方中的“数”，当内接正方形为矩形时，两个直角边分别为 a，b，斜边为c。

trx

下面引用由awei在 2010/06/21 09:16am 发表的内容：
m^2-n^2，2mn，m^2+n^2
当m=4,n=2
m^2-n^2=12
    2mn=16
...

awei比猪还要笨，来此网站傻扯什么？！

awei

[这个贴子最后由awei在 2010/06/21 01:09pm 第 2 次编辑]

下面引用由trx在 2010/06/21 11:04am 发表的内容：
awei比猪还要笨，来此网站傻扯什么？！

  [color=#0000FF]
       原命题：两个奇素数的和都为一个不小于6的偶数，
       逆命题：一个不小于6的偶数都为两个奇素数之和，
   看似简单的两个互逆命题命题，要判断逆命题都成立不是那么简单的事情。
   楼上的*比猪强*也强不了多少，按照你的逻辑每一组勾股数都可以表示为m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2，假如a,b,c是一组勾股数，请*比猪强*证明a,b,c可以写成m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2的形式，猪不会，比猪强会吗？的确也是个比猪强，呵呵！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/06/21 03:42pm 第 3 次编辑]

下面引用由awei在 2010/06/21 11:48am 发表的内容：

       原命题：两个奇素数的和都为一个不小于6的偶数，
       逆命题：一个不小于6的偶数都为两个奇素数之和，
   看似简单的两个互逆命题命题，要判断逆命题都成立不是那么简单的事情。
...

楼上 awei 说得很对！所举的例子也很好。
任何一个原命题，与它的逆命题，并不是等价的命题。
要证明原命题“任何两个奇素数的和都是一个不小于6的偶数”非常容易。
要证明逆命题“任何一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”就非常困难了，
实际上，这个逆命题就是哥德巴赫猜想，至今还没有人能够证明出来。
如果有人学 trx 的样子说：“哥德巴赫猜想之证明，实无如此繁琐之必要，
只要证明任何两个奇素数的和都是一个不小于6的偶数即可！”
请大家想想，这样的说法，是不是很可笑？
同样的道理，
要证明“任何一组可表示成 m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2 的数，都是勾股数。”非常容易，
要证明“任何一组互质的勾股数，都可以表示成 m^2-n^2 ，2mn ，m^2+n^2 的形式。”
就不是那么容易了。
trx 说：“楼主命题之证实无如此繁琐之必要！即然可为勾股数，则只要用勾股定理验证即可！
因（m^2-n^2）^2+(2mn)^2=m^4+2(mn)^2+n^4 ；而 (m^2+n^2)^2=m^4+2(mn)^2+n^4 。
则命题成立。”
把原命题与逆命题当作是等价的命题，以为只要证明了原命题也就证明了逆命题。
请大家想一想，这样的说法，连基本的逻辑也不懂，是不是很可笑？

fleurly

其实由楼主的结论可以得到几个有趣的结论：
x^4 + y^4 = z^2 仅有xyz=0的整数解
以及x^2 + y^2 = z^4的解的情况
详情参见 潘承洞 潘承彪的《初等数论》第二章第二节
PS:限于能力有限，本人从不推出新结论，都是拿书上已有的出来的。 各位别拍砖

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/06/21 04:19pm 第 1 次编辑]

 如果要求出
    Pn+Qn=2n,   2n=2,4,6,,,， n→∞，
  的任意一组解，恐怕比登天还难？
     
       Pn+Qn=100-------------------------------------------------（1）
     ｛
       Pn=｛{[Ap【(AzNz+48)ˇ1/2-6】ˇ2+48}ˇ1/2-6｝ˇ2----------（2）

    但是理解上述方程组就不难了！

changbaoyu

下面引用由luyuanhong在 2010/06/21 02:06pm 发表的内容：
楼上 awei 说得很对！所举的例子也很好。
任何一个原命题，与它的逆命题，并不是等价的命题。
要证明原命题“任何两个奇素数的和都是一个不小于6的偶数”非常容易。
要证明逆命题“任何一个不小于6的偶数都是两　...

luyuanhong老师：从正规的角度讲您的证明和说法都对．逆否命题不一定对等，有好证明的也有难证的，或也许就不是那么回事！例如不定方程：Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾２的解有很多的公式都是可以滿足的，只要把公式代入到方程中去检验等式成立恒等即可，至于公式是怎么得出来的，让人非常的费解也不容易知道！也许得达到那个知识高度后才能知道且得不到去普及而让更多的人去明白少浪费时间！人们要去求新求简的去解决对待问题才是正确的思路．不定方程的本质是个二次等式关系式，在自身条件和这个二次等式关系式中及所学识知的普通数理知识，根本不须那么复杂的证明就可推出很多的勾股数公式，可我从来也没从书本上网上看到及听专家教授谈过此问题，并不是问题太难，而是一问都不知！所以还是多看看吧！？求新求简的去解决对待问题才是正确的思路．您的证明是方法！非常详细易懂，谢谢！玉。