简明极限论

elim

定理2 单调有界序列必收敛.
证：不妨设\(\{a_n\}\)单调升. 令\(\,E=\{a_n\mid n\in\mathbb{N}^+\},\;A=\sup E.\)
\(\qquad\)任给\(\,\varepsilon>0,\;\,A-\varepsilon/2\,\)不是\(\,E\,\)的上界,存在某\(\,N\in\mathbb{N}\,\)使
\(\qquad A-\varepsilon < a_N\le a_n\le A\small\;(n>N).\,\)即\(\,|a_n-A|< \varepsilon\;\small(n> N)\).
例4 设\((a_1,b_1)=(3,2),\,(a_{n+1},b_{n+1})=(a_n+2b_n,a_n+b_n)\)
\(\qquad\)试证\(\,\{\frac{a_n}{b_n}\}\)收敛, 并计算\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n}{b_n}}\).
解：从递归关系得\(\,a_{n+1}=b_{n+1}+b_n=b_{n+2}-b_{n+1}.\,\)于是
\(\quad\)\(b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0,\;\; b_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\big({\small(1+\sqrt{2})^{n+1}-(1-\sqrt{2})^{n+1}}\big)\)
\(\quad\)进而得\(\,a_n=\frac{1}{2}\big({\small(1+\sqrt{2})^{n+1}+(1-\sqrt{2})^{n+1}}\big)\)
\(\quad\)注意\(\,\small(1+\sqrt{2})^n\,(\color{blue}{(1-\sqrt{2})^n}))\to\infty\,(\color{blue}{0})\;{\small(n\to\infty),}\;\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n}{b_n}}=\sqrt{2}.\)

jzkyllcjl

elim：对数列{1/n} ,  你算出的N 是那个自然数？ 请把具体自然数 写出来！
elim： 你把极限定义中 任意给定的正数  改写为全体正数。

elim

jzkyllcjl 发表于 2020-8-8 18:32
elim：对数列{1/n} ,  你算出的N 是那个自然数？ 请把具体自然数 写出来！
elim： 你把极限定义中 任意 ...

谢芝灵邪灵附体文化不济，没懂啥叫定义，至于范秀山，他的极限的理解力恰似一泡臭狗屎向东流．那么 jzkyllcjl 看懂了经典分析的极限定义了吗？从他楼上的要求看，他不被人类数学抛弃才怪！

jzkyllcjl

elim： 极限定义中，本来说的是“对任意给定的正数ε”但你用的是 全程量词，这就是不恰当的概念混淆。

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jzkyllcjl 发表于 2020-8-9 15:41
elim： 极限定义中，本来说的是“对任意给定的正数ε”但你用的是 全程量词，这就是不恰当的概念混淆。

我这才发现你好像都不清楚全称量词是什么意思……全称量词是for any（对于任意一个）或者说for all（对于一切），觉得会混淆就优先用前一种文字语言。

elim

jzkyllcjl, 早就跟你说过，狗屎和数学不可以兼得，你尊重狗吃屎的事实就去吃狗屎，不可理喻，当然就不知道全称量词的意思了．人类数学抛弃你，是完全必要的，非常及时的．
\(\pi\,\)的十进小数的存在性等价于\(\,\exists!\{a_m\}\in\{u\in\mathbb{N}:\,u< 10\}^{\mathbb{N}}:\pi=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n10^{-n}\). 这件事与人的计算没有关系．中国的茅坑不会因为你没有一一蹲过就不存在吧？区间[0,1]的点你沒法一一写出，并不妨碍它是一个既存的无穷集，即实无穷．

elim

极限定义注记
全称量词 \(\forall\varepsilon>0\,\)意即对每个正数\(\,\varepsilon\),不是对集\(\{\varepsilon{\small\,\in\mathbb{R}}:\,\varepsilon> 0\}\)
若对以某个集合的对象为参量的陈述作全称判断, 就会用到全称量词而不是逐一写该参量的各种取值. "逐一写出"一般没有操作性,尤其当所论集合是无穷集合时.

全称量词反映的是数学的有限性原则,无穷的的东西要用有限形式表达.否则被视为没有意义.所以"写不到底","算不到底",这类说词都没有确切的数学意义,更没有应用价值.人类数学关于这类对数学的弱智虚无化的谬论的有力回应是以下定理:
\(\,\forall x\in\mathbb{R}\,\exists\{d_n\}\in([0,9]\cap\mathbb{N})^{\mathbb{N}}:\,x=\text{sgn}(x)\big(\lfloor|x|\rfloor{\small+{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}}d_n 10^{-n}\big)\)
这个定理保证了任何实数都有十进制值,并且可以被一个有
限十进小数升序列任意逼近.

jzkyllcjl

第一，每一个十进小数 可以被写出来，但无尽小数具有永远写不出来的性质；所以无尽小数不是定数。
第二， 有限次 加法 运算，可以进行完毕；但无限次加法运算无法进行，所以无穷级数和被定义为其前n项和的序列的极限。  

elim

jzkyllcjl 发表于 2020-8-9 18:03
第一，每一个十进小数 可以被写出来，但无尽小数具有永远写不出来的性质；所以无尽小数不是定数。
第二，  ...

写出来不写出来没有数学意义. 定数不定数也不依赖于书写, jzkyllcjl 的东西根本就不是数学.

难怪让他说极限与胡扯的区别, 他说不上来.

Ysu2008

elim 先生免费给你们几个差生开小灶，还不认真学，还在课堂上调皮捣蛋。
真是朽木不可雕也，烂泥扶不上墙也。