求极限 lim(n→∞){sin[π√(n^2+n)]}^2

elim

\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}))=\sin^2{\large\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\sin^2\frac{\pi}{2}=1\)

永远

elim 发表于 2020-10-14 04:32
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2 ...

永远

elim 发表于 2020-10-14 04:32
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(n+\sqrt{n^2+n}-n))=\)
\(\sin^2(\pi(n+{\large\frac{n}{\sqrt{n^2 ...

e老师请注意红圈部分

elim

红圈部分没有错, 我的 \(\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}\to \frac{\pi}{2}\) 也没错.

王守恩

\(\displaystyle\lim_{n→∞}\sin^2\big(\pi\sqrt{n^2+n}\ \big)=1\)

\(\displaystyle\lim_{n→∞}\sin^2\big(\pi\sqrt{(n+\frac{1}{2})^2+n}\ \big)=0\)

elim

原问题可以这样解:  \(\because\;\;\sin^2(n\pi+\theta)=\sin^2\theta\),
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin^2(\pi(\sqrt{n^2+n}-n))\)
\(=\sin^2{\large\frac{n\pi}{n+\sqrt{n^2+n}}}=\sin^2{\large\frac{\pi}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}}\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}\sin^2{\large\frac{\pi}{2}}\)

天山草老师的 \(\sqrt{n^2+n}\to n\) 应该改成 \(\sqrt{n^2+n}\sim n\)

永远

elim 发表于 2020-10-15 23:54
原问题可以这样解:  \(\because\;\;\sin^2(n\pi+\theta)=\sin^2\theta\),
\(\sin^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\sin ...

继续分析天山草老师的：当n→+∞时， \(\sqrt{n^2+n}\to n\) 应该改成 \(\sqrt{n^2+n}\sim n\) 这句话是对的，然后接下来的分析也完全顺理成章，没毛病

不过，若当n→-∞时，分析会自相矛盾或者说题目有瑕疵，如果按照这样的分析的话，题目的趋于无穷大就默认是趋于正无穷大，这很好的回答了5楼波斯猫猫

永远

事实上原题目，从图像上观察：当n→+∞时，{sin[π√(n^2+n)]}^2的值在0到1之间来回振荡，见图片1。

但是它等价的{sin[π√(n^2+n)-nπ]}^2确是当n→+∞时，结果趋于1，见图片2






好矛盾啊！我要是上过大学数学就不会问这么个问题。我想这其中的奥秘只有陆教授能说的清楚，也罢，算了

elim

\(n\to\infty\) 约定俗成指的就是 \(\mathbb{N}\ni n\to +\infty.\)

研究它可能是别的意思, 例如复数, 无理数等等, 说好听点叫迂腐, 说难听点叫无聊.

永远

elim 发表于 2020-10-17 01:23
\(n\to\infty\) 约定俗成指的就是 \(\mathbb{N}\ni n\to +\infty.\)

研究它可能是别的意思, 例如复数,  ...

看看18楼的图片一，怎么解释矛盾