a(1)=1，a(2)=2，a(n)=2a(n-1)+a(n-2)，证明：n≥5 时，a(n) 的质因数中有一模 4 余 1

蔡家雄

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蔡家雄

蔡家雄

佩尔数列与再生数列的平方性质：

Pn = [(1+√2)^n - (1 - √2)^n]/√8
    = 1，2，5，12，29，70，169，408，......

Pn*P(n+1)*P(n+2)*P(n+3)+1 = 完全平方数。


Cn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1，3，7，17，41，99，239，577，......

Cn*C(n+1)*C(n+2)*C(n+3)+4 = 完全平方数。

蔡家雄

天山草老师，很久没交流过了，

蔡家雄

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蔡家雄

我因新电脑没数学软件，请天山草老师计算：有多少个p, 23<p<10^6,

8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组，

s=0;
For[ p=23, p<=10^6, p++,
If[(PrimeQ[p])&&(PrimeQ[p+30])&&(PrimeQ[p+210])&&(PrimeQ[p+2310])&&(PrimeQ[p+30030])
&&(PrimeQ[p+510510])&&(PrimeQ[p+9699690])&&(PrimeQ[p+223092870]) ,s=s+1;
Print[s,  " ------ p = ", p]]]

蔡家雄

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天山草@

这个题目，甚是难解，本人是没有这个能力。看了一下官方的解答，也有一些错误，到现在为止，只看懂了一半，下面把已纠正了错误的版本写出来，供大家研究。



  以上只是 n 是奇数的证明。n 是偶数时如何证明？ 请大家考虑。

蔡家雄

题：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，求证 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

解：分奇数项与偶数项讨论之，

A(n)=1，2，5，12，29，70，169，408，......

B(n)=1，3，7，17，41，99，239，577，......

C(n)=1，6，35，204，1189，6930，40391，......

由费马小定理：a, b>0,

2x+1= a^2+b^2 必有一个4d+1型的素数，得

奇数项的A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 必有一个4d+1型素数，

偶数项的n分4k+2 和 4k 两种情况，

偶数项的n=4k+2,     A(4k+2) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

而 4k 又分 k为奇数（用2k+1作变换）和 k为偶数（用2k作变换）两种情况，

偶数项的n=4(2k+1), A(8k+4) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

偶数项的n=4(2k),      A(8k)     能被 B(4k)     =[4*C(k)]^2+1^2        整除，必有一个4d+1型素数，

故：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，当 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

蔡家雄

ysr 发表于 2020-10-21 22:55a32=627013566048=2*2*2*2*2*3*17*577*665857，其中的17除以4余1，577除以4余1.

题：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，求证 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .

解：分奇数项与偶数项讨论之，

A(n)=1，2，5，12，29，70，169，408，......

B(n)=1，3，7，17，41，99，239，577，......

C(n)=1，6，35，204，1189，6930，40391，......

由费马小定理：a, b>0,

2x+1= a^2+b^2 必有一个4d+1型的素数，得

奇数项的A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 必有一个4d+1型素数，

偶数项的n分4k+2 和 4k 两种情况，

偶数项的n=4k+2,     A(4k+2) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

而 4k 又分 k为奇数（用2k+1作变换）和 k为偶数（用2k作变换）两种情况，

偶数项的n=4(2k+1), A(8k+4) 能被 A(2k+1)=[A(k)]^2+[A(k+1)]^2 整除，必有一个4d+1型素数，

偶数项的n=4(2k),      A(8k)     能被 B(4k)     =[4*C(k)]^2+1^2        整除，必有一个4d+1型素数，

故：A(1)=1，A(2)=2，A(n)=2A(n-1)+A(n-2)，当 n≥5 时，A(n) 的质因数中有一模 4 余 1 .