求 (sinθ)^4+(cotθ)^4+(secθ)^4 的最小值

波斯猫猫

王守恩 发表于 2020-11-4 17:23
谢谢 波斯猫猫！我没去想那么复杂的，只是作了个因式分解。

Factor[((a - b)/(b - c))^2 + ((b - c) ...

要把一个看起来不太有规律的多项式分解成（a1+a1+a3+...+a10）＾2的形式，恐怕不只是分解分解因式那样轻松？要不你把具体分解过程发出来，让人们见识见识。

波斯猫猫

王守恩 发表于 2020-11-4 17:23
谢谢 波斯猫猫！我没去想那么复杂的，只是作了个因式分解。

Factor[((a - b)/(b - c))^2 + ((b - c) ...

a,b,c 是互不相同的实数，证明：[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5。

思路(显然不能用均值定理，采用逐次降元法)：a,b,c 是互不相同的实数，不妨考虑a＞b＞c，令a-b=x，b-c=y，a-c=z，则z=x+y（x、y、z∈R+）。
故[(a-b)/(b-c)]^2+[(b-c)/(c-a)]^2+[(c-a)/(a-b)]^2≥5等价于(x/y)^2+[(y/(x+y)]^2+[(x+y)/x]^2≥5，
或t^2+[(1/(t+1)]^2+(1/t+1)^2≥5  (令x/y=t，t＞0)，
即【t^4(t+1)^2+t^2+(t+1)^4】/[t^2(t+1)^2]≥5.
显然，上试成立的充要条件是t^4(t+1)^2+t^2+(t+1)^4-5t^2(t+1)^2≥0，
即t^6+2t^5-3t^4-6t^3+2t^2+4t+1≥0，或（t^3+t^2-2t-1）^2≥0（此处用待定系数法得到，此式恒成立）。

天山草@

下面这个图片是将波斯猫猫的证明整理了一下，写成便于阅读的形式——

luyuanhong

楼上 天山草@ 的帖子很好！已收藏。

波斯猫猫

天山草@ 发表于 2020-11-5 07:56
下面这个图片是将波斯猫猫的证明整理了一下，写成便于阅读的形式——

天山草@ ：下面这个图片是将波斯猫猫的证明整理了一下，写成便于阅读的形式——

实际上天山草@是令t=cosθ/sinθ，而不是t=(cosθ/sinθ)^2，这就使得方次由6次升高到了12次，也使得后面解三次方程再做代换“p=t^2”，其中还有笔误。

天山草@

问题出在： 令 p=t^2=cosθ/sinθ，由于前面已设 t=(cosθ/sinθ)^2，所以应该是 p=t^2=(cosθ/sinθ)^4，但是这样算下去 θ 的表达式怎么反而不对了呢？(原先那个结果对，但过程有这个毛病)  

为什么会发生这种奇怪的歪打正着现象呢？

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-4 18:40
要把一个看起来不太有规律的多项式分解成（a1+a1+a3+...+a10）＾2的形式，恐怕不只是分解分解因式那样轻 ...

谢谢波斯猫猫！挺潇洒的不等式。(手工如何证明？)

\(若a+b=1，恒有a^2+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{b^2}≥5\)

N[Minimize[{a^2 + b^2/a^2 + 1/b^2, a + b == 1}, {a, b}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a -> 1.8019377358048382524722046390148901023318383242637,
b ->-0.80193773580483825247220463901489010233183832426371}}

天山草@

下面这样算不算手工证明？

王守恩

波斯猫猫 发表于 2020-11-4 18:40
要把一个看起来不太有规律的多项式分解成（a1+a1+a3+...+a10）＾2的形式，恐怕不只是分解分解因式那样轻 ...

波斯猫猫 发表于 2020-11-4 18:40
要把一个看起来不太有规律的多项式分解成（a1+a1+a3+...+a10）＾2的形式，恐怕不只是分解分解因式那样轻 ...

挺好玩的。(手工如何证明？)

\(若\sqrt{a}+\sqrt{b}=1，恒有a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}≥5\)

N[Minimize[{a + b/a + 1/b, Sqrt[a] + Sqrt == 1}, {a, b}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a -> 0.19806226419516174752779536098510989766816167573629,
b -> 0.30797852836990413037218510299793085980273940067811}}

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-6 09:26
挺好玩的。(手工如何证明？)

\(若\sqrt{a}+\sqrt{b}=1，恒有a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}≥5\)

挺好玩的。(手工如何证明？)

\(若\sqrt{a}-\sqrt{b}=1，恒有a+\frac{b}{a}+\frac{1}{b}≥5\)

N[Minimize[{a + b/a + 1/b, Sqrt[a] - Sqrt == 1}, {a, b}], 50]
{5.0000000000000000000000000000000000000000000000000,
{a -> 3.2469796037174670610500097680084796212645494617928,
  b -> 0.64310413210779055610560048997869941660087281326538}}