求\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1\) 全部正整数解

王守恩

elim 发表于 2020-12-9 14:56
这个通解应该是名副其实的. 请王守恩老师检验一下.

\(\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1\)
{02, 1, 05}，{017, 018, 05}，{047, 080, 05}，{092, 0217, 05}，{0152, 0459, 05}，
{05, 2, 13}，{044, 045, 13}，{122, 205, 13}，{239, 0560, 13}，{0395, 1188, 13}，
{08, 3, 21}，{071, 072, 21}，{197, 330, 21}，{386, 0903, 21}，{0638, 1917, 21}，
{11, 4, 29}，{098, 099, 29}，{272, 455, 29}，{533, 1246, 29}，{0881, 2646, 29}，
{14, 5, 37}，{125, 126, 37}，{347, 580, 37}，{680, 1589, 37}，{1124, 3375, 37}，
{17, 6, 45}，{152, 153, 45}，{422, 705, 45}，{827, 1932, 45}，{1367, 4104, 45}，
{20, 7, 53}，{179, 180, 53}，{497, 830, 53}，{974, 2275, 53}，{1610, 4833, 53}，

王守恩

王守恩 发表于 2020-12-9 15:51
{02, 1, 05}，{017, 018, 05}，{047, 080, 05}，{092, 0217, 05}，{0152, 0459, 05}，
{05, 2, 13}，{04 ...

还有漏网的吗？好像找不出来了。

elim

例:\(\,(a,b,c)=(1124,3375,37),\;c=8\times 4+5,\;u=4, \)
\(m=((2u+1)^2c-5)/8=374,\;a=3m+2=1124,\;b=(2u+1)(m+1)=3375.\)

所以这个\((1124,3375,37)\)在我的通解中．
设\(c_k\) 是按大小排序第\(k\)个无重素因子，模8余5的数，
\(m_{(k,u)}=\large\frac{(2u-1)^2c_k-5}{8},\,\)则\(\,(a,b,c)=(3 m_{(k,u)}+2, (m_{(k,u)}+1)(2u-1),c_k)\;(k,u\in\mathbb{N}^+)\)
便是通解公式．

elim

设\(c_k\) 是按大小排序第\(k\)个无重素因子，模8余5的数，
则\(\,(a,b,c)=\frac{1}{8}(3 (2u-1)^2c_k+1, ((2u-1)^2c_k+3)(2u-1),8c_k)\;(k,u\in\mathbb{N}^+)\)
便是通解公式．

elim

需要最少数论知识的数论题.  涉及不太为人所知的奇葩现象, 可以完满求解的数论题.

elim

谁能够证明14楼的公式是主贴方程的通解?

王守恩

elim 发表于 2020-12-9 23:16
设\(c_k\) 是按大小排序第\(k\)个无重素因子，模8余5的数，
则\(\,(a,b,c)=\frac{1}{8}(3 (2u-1)^2c_k+1,  ...

谢谢elim！
把14楼的通解公式展开(c应该是ck)，把7楼的通解公式展开，两者是一样的。

uk702

#14 楼的通解似乎不是完整的，由 8a-1=3*((2u-1)^2)*c  =>  c | (8a+1)，故下面这一组解：
a=8, b=1, c=189 不可能是 #14 楼通解所能给出的。


julia> a=8;b=1;c=189; cbrt(a+b*sqrt(c))+cbrt(a-b*sqrt(c))
0.9999999999999998

elim

uk702 发表于 2020-12-10 22:12
#14 楼的通解似乎不是完整的，由 8a-1=3*((2u-1)^2)*c  =>  c | (8a+1)，故下面这一组解：
a=8, b=1, c=18 ...

这个解是 \((a,b,c)=(8,3,21)\). 因为 \(\sqrt{189}=3\sqrt{21}\)

王守恩

uk702 发表于 2020-12-11 13:12
#14 楼的通解似乎不是完整的，由 8a-1=3*((2u-1)^2)*c  =>  c | (8a+1)，故下面这一组解：
a=8, b=1, c=18 ...

谢谢 uk702！您找的这串数等同 11 楼的第 1 列数。
\(\ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{5+\sqrt{52}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{52}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{8+\sqrt{189}}+\sqrt[3]{8-\sqrt{189}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{11+\sqrt{464}}+\sqrt[3]{11-\sqrt{464}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{14+\sqrt{925}}+\sqrt[3]{14-\sqrt{925}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{17+\sqrt{1620}}+\sqrt[3]{17-\sqrt{1620}}=1\)
\(\ \sqrt[3]{20+\sqrt{2597}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{2597}}=1\)