为什么函数中, x和f(x)必须一一对应

波斯猫猫

关于“函数”的定义：目前有两种方式。
1，传统的定义，这种定义是从运动观点出发，只是对函数的“本质性”做了描述性的阐释，即对两个变量x与y个对应关系做了简单的说明，并不严谨。这主要是考虑到初中生的理解能力和接受能力。
2，近代的定义，这种定义是以集合论为基础，从映射的观点出发。近代的定义较传统的定义要严谨得多，揭示“函数”的本质更到位，并且明确了“定义域，对应法则f和值域”三个要素，核心是对应法则f，f是联系两个变量x与y的纽带，起着桥梁作用，即y=f(x)。高中数学中的函数概念就是采用这个方式定义的。高中所学的函数都是“单值”函数。只有满足一一映射的函数才有反函数，所以，反三角函数就明确了“主值区间”。
3，对解析几何，他是从坐标的观点出发，以坐标表示点，以方程表示曲线，重在研究曲线的几何性质，而不是曲线的代数性质，所以二次曲线的表达式都称为曲线的方程，而不称函数。如：中心在坐标原点的单位圆的方程为x＾2+y＾2=1。在中学，如果硬要说这个单位圆是某函数的图象，也是可以的。那就是两个函数y=±√（1-x＾2）的图象。在大学，这个问题当然就不存在了。对二次曲线的方程称什么多值函数啊，隐函数等什么的都是没有问题的。大学生的理解能力和接受能力较中学生已经有了较大的提升。
4，据称，对函数近代的定义的严谨性，学界也是有争议的，但不足以影响对函数的研究。有学者称：函数就是一张表。简单明了。比如：一个家庭一年12个月每个月所用电费的对应表。
5，目前，有的高校有搞中学数学教育研究的专家称，现在中学数学特别是初中数学，教材中对数学概念这块淡化得特别严重，那是要不得的。当今的数学教材，被哪些打着改革旗号的“专家”把数学已经弄得不大象数学了。特别是各种版本的职高教材，的确如此。

绛洞花主

这个很明显就是书本没说清楚啊，既然可以多值就应该说明，而不是说只能单值。多值函数很难理解？ 那不然别人怎么会马上有疑问？

国内教材大量这种问题，都是编教材的自己都没搞清楚。

绛洞花主

就单值而言，圆方程在笛卡尔坐标下不能被视为函数，但是在极坐标下是符合函数定义的。