0＜x,y≤π/2，z1=cosx/siny+icosy/sinx，｜z1｜=2，z2=√x+√y，求 ｜z1-z2｜ 最大值

天山草@

那个 0.890513 是最大值吗？ 看下面这个图：




上图中那条从左上往右下倾斜的黄线是保证  |z1| =2 的 x 与 y 的取值关系。那条波浪形的紫红色曲线是目标函数，即 |z1-z2|曲线。

可以看出当 x = 0.61548 ≈ y 时，有一个极大值点 0.89051，但是它还不是最大值点。

例如取 x=1.5，y = 0.04087434957 时，目标函数的值是 0.94635，它大于 0.89051。

由图可知，最大值比 0.94635 还要大一些。

当 x = 1.5707963267948966;  y = 3.5352507957496895*^-17  时，目标函数值是 1.10869。这应该就是最大值。

当  x=π/2， y=0 时目标函数没有定义，因为这一对 x, y 值并不在上图的黄线上，它们不能保证  |z1| =2 。

目标函数最大值的理论表达式是个啥？ 期待大家解决。

elim

下面这个例子就比你的最大值大:



你的算法错还是软件错的问题, 值得一查.

elimqiu

天山草@ 发表于 2020-12-26 16:11
那个 0.890513 是最大值吗？ 看下面这个图：

二楼有最大值得理论表达式.

elim

按照原题设, z_1 在 \(0 < x, y< \pi/2\) 有定义. 在其上\(|z_1-z_2|\)没有最大值.
但有 \(\underset{x\in(0,\pi/2)}{\sup} |z_1-z_2| = |z_1-z_2|\bigg|_{x=0^+}=|z_1-z_2|\bigg|_{x=(\pi/2)^-}\)

elim

mathematica 为什么没有提供正确结果, 可能与楼上和下帖有关:

http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=2044339#lastpost

天山草@

2# 楼的最大值是 1.01286， 不如我 11# 的 1.10869 大。你的小数点后第一位是 0，我的小数点后第一位是 1。应该是我的更大一些吧？

当 x 靠近 0 时，得到的最大值也是 1.10869。这是因为 x→0 时目标函数式与 x→ π/2 时的对称。

天山草@

天山草@

验证一下：

elim

天山草@   原题最大值应该还是有的吧？ 最大值等于 x →0 或 x → π/2 的极限。

这是一个理解问题. \(\sup|z_1-z_2|\) 是有的. 如果把它解读为最大值, 那么原题就有最大值.
令
\(\varphi(x)=\small\dfrac{2(3\sin^2x+\sqrt{1-4\sin^2x+12\sin^4 x})}{1+\sqrt{1-4\sin^2x+12\sin^4 x}}\),
\(\psi(x)=\small\dfrac{1-4\sin^2x+\sqrt{1-4\sin^2x+12\sin^4x}}{2}\), 则
\(z_1(x) = \sqrt{\varphi(x)}+i\sqrt{4-\varphi(x)},\;z_2(x)=\sqrt{x}+i\sqrt{\arcsin\sqrt{\psi(x)}}.\)
在闭区间\([0,\pi/2]\) 连续. 用这些公式看看 Mathematica 怎么表现.

王守恩

天山草@ 发表于 2020-12-27 11:55
验证一下：

谢谢两位大侠！最大值\(=\sqrt{\pi/2+1}=1.603370302\)

Table[N[Maximize[{Abs[(Cos[1/10^x]/Sin[y] + I Cos[y]/Sin[1/10^x]) - (Sqrt[1/10^x] + I Sqrt[y])],
  Abs[Cos[1/10^x]/Sin[y] + I Cos[y]/Sin[1/10^x]] == 2, \[Pi]/2 >=y > 0}, {y}], 20], {x, 0, 18}]
{{0.8528984444905154658, {y ->0.33260997471252813837}},
{0.8816931168747877093, {y ->1.3976022431141191679}},
{1.0227390335644021314, {y ->1.5534758187493281001}},
{1.0805586368831960951, {y ->1.5690642759088756063}},
{1.0997071122152560748, {y ->1.5706231216356085799}},
{1.1058428371404536827, {y ->1.5707790062082820247}},
{1.1078202320901997484, {y ->1.5707945946655497658}},
{1.1085322697566311188, {y ->1.5707961535598209806}},
{1.1092534311783526287, {y ->1.5707963094592230188}},
{1.1083114140484165034, {y ->1.5707963250636521163}},
{1.1071153871967469961, {y ->1.5707963266220547350}},
{1.2809519776477643561, {y ->1.5707963267743582028}},
{1.6033696787690281812, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033701052281923425, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033702400864582029, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033702827323900529, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033702962182181823, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033703004828115216, {y ->1.5707963267948966192}},
{1.6033703018313943500, {y ->1.5707963267948966192}}}
   \(x=\frac{1}{10^n}\)