正方形 ABCD 边长 5 ，E 在 BC 上，BE=1，F 在 AB 上，EFG 为正三角形，求 AG 最小值

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！已收藏。

王守恩

做题目也要批量解决，批量解决思路会清晰起来。

   n=2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 ,....   本题n=5

\(\ 记\ x\ 为\ AG\ 的最小值(1楼的图)，\ \ y=BF\ \ \ \ \ \ ∠BFE=\theta\)

\(\sqrt{y^2+1}=\frac{1}{\sin(\theta)}=\frac{n-y}{2\sin(30°+\theta)}=\frac{x}{2\cos(30°-\theta)}\)

波斯猫猫

复数法：（1）以E为原点，BE所在的直线向右为实轴建立复平面.
（2）设BF=a，则F点的复数z1=-1+ai，A点的复数z2=-1+5i，
所以，G点的复数z3=(-1+ai)[cos(-60°)+isin(-60°)]=（√3b-1）/2+（b+√3）i/2.
故AG所对应的复数z=z3-z1=（√3b+1）/2+（b+√3-10）i/2.
（3）由此有(2｜z｜)＾2=（√3b+1）＾2+（b+√3-10）＾2=（2b+√3-5）＾2+（5√3-1）＾2，
显然，当且仅当2b+√3-5=0时，｜z｜min=（5√3-1）/2.

波斯猫猫

勾股定理计算法（知识点勾股定理与二次函数的最值）：
（1）过G作MN⊥BC于N，交AD于M，设AM=x，BF=a，则EF=FG=GE=√（a＾2+1），
且GN=√（a＾2-x＾2+2x）.
（2）显然，｜√（a＾2-x＾2+2x）-a｜＾2+x＾2=a＾2+1(勾股定理)，即3a＾2=4x＾2-4x+1.
（3）AG＾2=y＾2=x＾2+[5-√（a＾2-x＾2+2x）]＾2=2x+a＾2+25-10√（a＾2-x＾2+2x）
   由此消去a得3 y＾2= 4x＾2+2x+176-10√3=[2x+(1-5√3）/2 ] ＾2  +（3x76-30√3）/4，
所以   （3 y＾2） min=（3x76-30√3）/4，即y min=（5√3-1）/2.

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-13 16:09
做题目也要批量解决，批量解决思路会清晰起来。

   n=2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 ,....   本题n=5

做题目也要批量解决，批量解决思路会清晰起来。

\(\ 记\ x\ 为\ AG\ 的最小值(1楼的图)，\ \ y=BF\ \ \ \ \ \ ∠BFE=\theta\)
\(\frac{2}{\sin(\theta)}=\frac{2y}{\cos(\theta)}=\frac{n-y}{\sin(30°+\theta)}=\frac{x}{\cos(30°-\theta)}\)
   n=2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 ,....   本题n=5
\(\ n=2\ \ \ \ x=\frac{2\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=3\ \ \ \ x=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=4\ \ \ \ x=\frac{4\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{4-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=5\ \ \ \ x=\frac{5\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{5-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=6\ \ \ \ x=\frac{6\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{6-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=7\ \ \ \ x=\frac{7\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{7-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=8\ \ \ \ x=\frac{8\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{8-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ n=9\ \ \ \ x=\frac{9\sqrt{3}-1}{2}\ \ \ \ y=\frac{9-\sqrt{3}}{2}\)
\(\ ......\)
这还需要解释？！借用朱一心教授《数学的可视化直观》：
好，回到数学，上边几张，现在看看这么多量放在一起是有震撼感的，我们还可以涂一点色彩，你不要觉得这个是数学呀，其实就是设计某些设施放在一起排列好就可以了，根本不要动脑筋，有些直观的美是由量造成的，并不需要动脑筋想原理，你只要有量就可以了。好像

doletotodole

这种题目其实非常套路.
G轨迹是边长一直变化的正三角形中垂线上的点, 那么必定要构造全等,关键是顶点A这个不动点转移AG.

没有训练过的学生根本不可能做出来的.

王守恩

ccmmjj 发表于 2021-1-13 13:13
我的解答在这里，只要用到旋转的概念和含30度角的直角三角形的边边关系。只要三步。

谢谢 ccmmjj！挺不错的题目。
怎么利用”正方形“这个条件？
怎么联系”将军马饮水“？有标准答案吗？

作∠BAG=30°，作∠BEI=30°，过 I 作 AG 的垂线。

\(\ AG=(5-\frac{1}{\sqrt{3}})\sin60°\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-15 14:50
谢谢 ccmmjj！挺不错的题目。
怎么利用”正方形“这个条件？
怎么联系”将军马饮水“？有标准答案吗 ...

\(来个不用三角函数的，\ 记\ x\ 为\ AG\ 的最小值(1楼的图)\)

\(n=FA+FB=\frac{\sqrt{3}x}{2}+\frac{1+x/2}{\sqrt{3}}\ \ \ 或：\sqrt{3}n=2x+1\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-1-16 17:35
\(来个不用三角函数的，\ 记\ x\ 为\ AG\ 的最小值(1楼的图)\)

\(n=FA+FB=\frac{\sqrt{3}x}{2}+\fra ...

继续前进(奇了怪了，就是没人鼓掌！希望友人配个图)！

\(\sqrt{3}n=2x+m\)   x 为 AG 的最小值，n≥2m

  n=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,....   本题n=5

  m=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,....   本题m=1

王守恩

痛快！舍不得也得舍。谢谢各路好手！
1，作∠CEH=30°，(H是CD上的点)
2，取EM=\(\frac{5}{\sqrt{3}}+1\)，(M是EC上的点)
3，过M作EH的垂线，垂足是G'，交AD于A'
    则A'G'为所求。(当然 5, 1 可以随意换)