无穷区间上：求和号、极限号，积分号交换经典案例及苦逼疑问

永远

众所周知一致收敛是函数项级数求和号与积分号交换的充分条件，至于是不是充要条件这个有待分析。

根据陆老师的贴子知：函数项级数\(\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\ln x\frac{{{e^{ - nx}}}}{n}} \)在\(\displaystyle[0,\infty )\)上不一致收敛。

既然不一致收敛，这个就不成立：

\(\displaystyle\boxed{\int_0^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\int_0^\infty  {\frac{{{e^{ - nx}}\ln x}}{n}dx} } } \)

elim

4 楼不能作为 2，3 楼的理论基础．4楼结果的成立不光是因为一致收敛．

elim

永远 发表于 2021-1-17 02:21
众所周知一致收敛是函数项级数求和号与积分号交换的充分条件，至于是不是充要条件这个有待分析。

根据陆 ...

众所周知此说只对有限区间而言．

永远

elim 发表于 2021-1-17 17:25
众所周知此说只对有限区间而言．

确实如此

看了北大，复旦，科大的数分，都是有限区间，国内课本没提在无穷区间上的求和符号与积分号交换情况。我就纳闷了，为啥数分课本不提无穷区间上的情况呢，特别带瑕点的，郁闷

永远

然后呢，谁来科普一下

永远

求助于陆教授，老师晚上好

永远

好无奈……～～

elim

永远 发表于 2021-1-18 06:26
确实如此

看了北大，复旦，科大的数分，都是有限区间，国内课本没提在无穷区间上的求和符号与积分号交 ...

因为无穷区间，有瑕点的所论交换问题在数学分析的层面，要具体函数列具体分析而不方便证明有关定理．到了实变函数论，有关的研究和定理才会系统地呈现出来．具体分析当下的交换问题其实并不困难．所以不必在教课书中啰嗦．