求解三角方程 sinx+cosx=sin2x

luyuanhong

下面是根据楼上 波斯猫猫 的解法思路的详细解答过程：

elim

二楼: 原方程等价于\(\;(\sin x+\cos x)^2-(\sin x+\cos x)-1=0\)
\(\therefore\;\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=\large\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) (舍去了\(x\)的复数解).
\(\therefore\;\;x=(k-\frac{1}{4})\pi+(-1)^{k-1}\arcsin\large\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{8}}\;\;\small(k\in\mathbb{Z})\quad\square\)

elim

中国上海市

谢谢大家精彩的解答噢

elim

别人的解不知道，我的解经验证。

天山草@

让软件判定一下，看看哪个解答是对的（无漏根也无增根）：




对于正确的根，原方程两边都是一个负数，即  \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-0.618034....  \)，如果不是这个数，那就不对。

上面的图片中，是  -30<x<40 这个范围内的全部根。如果少了或多了，那就不对。

经检验，陆教授和 elim 的答案都正确。其他人的答案请您自行核对。

下面这个图片是 elim 那个答案的检验结果，证实这答案是正确的，也是优美的。




这个答案如果改成  \( x = (k - \frac{1}{4}) \pi + (-1)^k  arcsin(\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{8}}) \)  就更优美了。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2021-1-19 18:41
sinx+cosx=sin2x→（sin2x）＾2-sin2x-1=0→sin2x=（1-√5）/2→2x=racsin[（1-√5）/2]
→x=racsin[（1- ...

是的！错误的原因是当时一时只想了主值区间，没有多想。看来反三角问题必须得小心。

中国上海市

请问，这其中的一个解法里面用到了1/2arcsin这样的表达，那么，这个1/2arcsin怎样简化为arcsin的表达形式呢？

王守恩

天山草@ 发表于 2021-1-20 10:28
让软件判定一下，看看哪个解答是对的（无漏根也无增根）：

这样都可以的。
1，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi+(-1)^k\sin^{-1}(\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{8}})\)
2，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\sin^{-1}(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{8}})\)
3，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2})\)
4，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\cos^{-1}(\frac{\sqrt{\sqrt{5}+1}}{2})\)
5，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\tan^{-1}(\sqrt{\sqrt{5}-1})\)
6，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\sec^{-1}(\sqrt{\sqrt{5}-2})\)
7，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\cot^{-1}(\sqrt{\sqrt{5}+2})\)
8，\(x=(k-\frac{1}{4})\pi-(-1)^k\csc^{-1}(\sqrt{\sqrt{5}+3})\)

liangchuxu

感谢陆老师的详尽分析，自己没有考虑到那么多。看来，解题时还需要全面考虑。