如何正确的定义k生素数

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-1-24 21:13
请注意，我的七生素数“29，……，49”中的49不是素数，但它代表的是首素数等于5639、88799、284729…… ...

“我的七生素数“29，……，49”中的49不是素数”，如果里面有一个合数就不能称为七生素数。你的最密七生素数应该是（p，p+2，p+8，p+12,p+14,p+18,p+20）我知道最密七生素数是（11,13,17,19,23,29,31）也就是（p，p+2，p+6，p+8,p+12,p+18,p+20）这种形式的最密七生素数也应该是无穷多的。
“我的“七生素数”后再加一个素数53，是什么素数？”因为你的“七生素数”里面有一个合数，所以什么素数也不是。同时因为首位素数大于7，此时用7除前述8个素数，即使互不同余的余数个数变成7个了，占满7的全部余数了，这种间隔的8生素数可能不存在，不然就是唯一的。因为（7，11,13,17,19,23,29,）后面6个素数对于模7互不同余的个数等于7-1，所以是唯一的七生素数，再加一个素数31形成（7，11,13,17,19,23,29,31）的八生素数也是唯一的。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2021-1-24 20:35
关于k生素数，除了唯一的m生素数，如（3,5,7）这样的三生素数和（5,7,11,13,17，19）这样的六生素数， ...

单从字面上讲，由k个不同的素数组成的一个“集合”就可以叫做“k生素数”。然而这样的k个素数的“集合”没什么数学价值，故数学界不认可。于是便对“k生素数”加了许多限制条件。
第一，“k生素数”中的k个数必须都是素数，不然怎么称得上“k生素数”。
第二，“k生素数”有：只一个的和不止一个的两大类。“猜想”k生素数要么只有一个，要么无穷多个，没有仅2个，3个，……的。
为什么说是“猜想”，因为公认的有无穷多对孪生素数的问题，至今没有人给予真正的证明，因而冠之为“孪生素数猜想”。
第三，为研究方便，常将包含k个素数 “集合”中的k个素数按大小顺序排斥一排。再按最大素数和最小素数的差（跨距）及k个素数的两两差（邻距）分成不同的类型。
“集合”中的k个素数可以是连续的，也可以是不连续的。
大傻8888888先生对连续型的称为“自然k生素数”，笔者认为还是称为“连续型k生素数”为宜。
第四，对于跨距和排列方式都一样（跨距相等、k-1个邻距也都相等）的“集合”再按其数量分类。
只有一个的、包含k个素数的“集合”都集中在素数表的前部，“数学价值”不是太大，常常被排斥在“k生素数”之外，只研究有无穷多个。

大傻8888888先生也只打算研究无穷多型k生素数，在这一点上你我是相同的。
无穷多型k生素数中跨距最小的，最吸引人们的眼球，称之为“最密素数”；但唯一型k生素数的跨距往往更小，因被排斥在k生素数之外，故不认为它们是“最密k生素数”。 在这一点上你我也是相同的。
大傻8888888先生所说的“随意k生素数”，我对此不感兴趣，不做探讨。

yangchuanju

接上楼第四后：
第五，“k生素数”可用多种表达式表示；
（1）素数式，将k个素数一一列出（如四生素数11,13,17,19），或只列出前部几个及最后1个（如十生素数11,13，……43）。
（2）首素数加邻距表达式，只写出第一个素数，然后写出各个邻距（如四生素数11,13,17,19可写成11，+2，+4，+2或11：0,2,4,2）。
（3）首素数加间距表达式，只写出第一个素数，然后写出各个间距（如四生素数11,13,17,19可写成11，+2，+6，+8或11：0,2,6,8）；这里的“间距”指第2,3，……k个素数与第1个素数的差。
第（2）和（3）这两种表达式常用于首素数很大的k生素数。对于同一类k生素数因为它们的邻距和间距都相同，故常常只写邻距0,2,4,2，或只写间距0,2,6,8。
这两种表达式都以0开头，但很容易区分，邻距式中的各个数字有大有小，间距式中的各个数字依次增大。
（4）跨度（宽度）表达式：将第（3）种间距表达式中的各个数字都加1就是跨度表达式，以1开头。如上述四生素数的跨度表达式是：1,3,7,9。
（5）余数表达式（互素数表达式）：当首素数较大，常取k个素数模30或模30n的余数表示，如七生素数5639：0,2,8,12,14,18,20可表示成29,31,37,41,43,47,49；它是7个大素数模60的余数，都与30互素。用这种表达式开头数字只有1,7,11,13,17,19,23,29八大类。
当然也可以用取k个素数模210或模2310的余数表示，各个余数分别与210或2310互素。

最密七生素数有2种，跨距都是20，它俩与30互素的互素数表达式分别为（11,13,17,19,23,29,31）和（29,31,37,41,43,47,49），它俩分别代表首素数是11、165701、1068701……和首素数是5639、88799、284729……的两大类七生素数。
大傻8888888先生不是还在白新岭《k生素数的数量计算公式》中贴出过计算3—7生最密素数的计算公式吗？学生至今念念不忘！

大傻8888888先生的检验方法对于用素数式表达的k生素数或许是可行的，但对于用跨距式或跨度式表达的k生素数如何检验哪？

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-1-25 07:32
接上楼第四后：
第五，“k生素数”可用多种表达式表示；
（1）素数式，将k个素数一一列出（如四生素数11, ...

       我对yangchuanju先生的观点基本上是赞同的。特别是首素数很大的k生素数只写邻距0,2,4,2，或只写间距0,2,6,8的方法很好。唯一美中不足是七生素数（29,31,37,41,43,47,49）中有49这个合数，应该改为（5639,5641,5647,5651,5653,5657,5659）就完美无缺了，不知是否还有首位素数小于5639的最密七生素数。
       我在前面定义了三种k生素数，它们之间的关系应该有随意k生素数的跨距大于等于自然k生素数（连续型k生素数），自然k生素数（连续型）k生素数的跨距大于等于最密k生素数。它们的共同点是如果用数量公式表示应该是C×（N/lnN^k），C是一个常数，对于不同的k生素数C这个常数有可能不同，但是对于最密k生素数C是固定的一个常数，别的k生素数常数C应该大于等于最密k生素数常数C。

yangchuanju

有6种跨距等于48的13生最密素数，用与30互素的互素数表示时首数分别是1,11,13,13,29,29：
A214947给出854十三生素数1之首素数1-49缺11
A257139给出817十三生素数2之首素数11-59缺49
A257138给出802十三生素数3之首素数13-61缺53
A257137给出944十三生素数4之首素数13-61缺49
A257140给出1036十三生素数5之首素数29-77缺41
A257141给出803十三生素数6之首素数29-77缺37

对应的互素数表达式分别为：
序        1#        2#        3#        4#        5#        6#
1        1        11        13        13        29        29
2        7        13        17        17        31        31
3        13        17        19        19        41        37
4        17        19        23        23        43        43
5        19        23        29        29        47        47
6        23        29        31        31        49        49
7        29        31        37        37        53        53
8        31        37        41        41        59        59
9        37        41        43        43        61        61
10        41        43        47        47        67        67
11        43        47        49        53        71        71
12        47        53        59        59        73        73
13        49        59        61        61        77        77
这些表达式很便于观察，尽管1#、3#、5#、6#表达式中间有1个或2个非素数49和77。
尚若用0领头的邻距式或跨距式就不宜观察它们之间的连续和区别了。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-1-25 07:28
单从字面上讲，由k个不同的素数组成的一个“集合”就可以叫做“k生素数”。然而这样的k个素数的“集合 ...

一、k生素数有唯一型k生素数。如（3,5,7）这样的三生素数和（5,7,11,13,17，19）这样的六生素数
二、k生素数中跨距最小的是最密k生素数。如（5,7）这样的孪生素数，（7,11,13）这样的三生素数
三、连续性k生素数。如（7,11）这样的二生素数，（19,23,29）这样的三生素数
四、不连续性k生素数。如（7,17）这样的二生素数，（19,29，41）这样的三生素数
五、多项式k生素数。如n^2+n+41，可以产生（41,43）这样的二生素数，（41,43，47）这样的三生素数，直至（41,43，47.....16553）这样的40生素数

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-1-24 04:09
先生没有说出您想说的话，如果这样说怎么样：
“k生素数是由k个不同的素数并经适当排序后的一组素数，且数 ...

根据您在此贴对k生素数的理解，欧拉形式的k生素数（0,2,6,12,20,30，...，（n-1）*n），无论n多大（或者k有多大），这样的k生素数是存在的。
        它们（间距）模P的余数类仅占（P+1）/2，有（P-1）/2未被占用，比起最密的来多的多，例如在最密3生素数（0,2,6）的基础上，形成欧拉形式的4生素数（0,2,6,12），最密5生素数（0,2,6,8,12）是它的一部分，当那个“8”不是素数时，它却是欧拉形式的4生素数。往后不在延展（最密7生素数是欧拉形式的5生素数）。

yangchuanju

白新岭 发表于 2022-12-22 16:26
根据您在此贴对k生素数的理解，欧拉形式的k生素数（0,2,6,12,20,30，...，（n-1）*n），无论n多大（或者k ...

最密三生素数有（0,2,6）和（0,4,6）两种，第一种是欧拉三生素数，第二种不是；
最密四生素数只有（0,2,6,8）一种，仅考虑前三数时即为欧拉三生素数；
最密五生素数也有（0,2,6,8,12）和（0,4,8,10,12）两种，第一种不管第4个数是欧拉四生素数，第二种不是。
最密六生素数只有（0,4,6,10,12,16）一种（一个实例是7,11,13,17,19,23）,11,13,17,23是四生欧拉素数。