计算极限 lim(n→∞)√(4+√(4^2+√(4^3+√(…+√（4^n)…))))

王守恩

xfhaoym 发表于 2021-1-28 10:55
(拉玛努金)的奇葩公式大概有２千多吧，比如：

有我这个好吗？！

\(1=\sqrt{2-\sqrt{3-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{3}\sqrt{8-\sqrt{5}\sqrt{13-\sqrt{8}\sqrt{21-\sqrt{13}\sqrt{34-\sqrt{21}\sqrt{55-\sqrt{34}\sqrt{89-..}}}}}}}}}\)

王守恩

fungarwai 发表于 2021-1-28 09:48
我見到有人話\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\cdots+\sqrt{x^n}}}}=\sqrt{2x+1}\)
blog.sina.com.cn/s/blog_50 ...

3楼的算式有问题。
\(3=\sqrt{2×4+1}=\sqrt{4+\sqrt{4^2+9}}=\sqrt{4+\sqrt{4^2+\sqrt{4^3+17}}}\)
\(5=\sqrt{2×12+1}=\sqrt{12+\sqrt{12^2+25}}=\sqrt{12+\sqrt{12^2+\sqrt{12^3-1103}}}\)
\(7=\sqrt{2×24+1}=\sqrt{24+\sqrt{24^2+49}}=\sqrt{24+\sqrt{24^2+\sqrt{24^3-11423}}}\)
\(9=\sqrt{2×40+1}=\sqrt{40+\sqrt{40^2+81}}=\sqrt{40+\sqrt{40^2+\sqrt{40^3-57439}}}\)

elim

3 楼是一个待解的方程．不是恒等式．11楼很厉害．佷可能也在Ramanujan 的一般公式中．

luyuanhong

楼上 各位 的帖子很好！已收藏。

xfhaoym

这还有一个挺恐怖的计算：

王守恩

elim 发表于 2021-1-28 19:34
3 楼是一个待解的方程．不是恒等式．11楼很厉害．佷可能也在Ramanujan 的一般公式中．

还是搞个通项，请大家审阅。15楼的想法是对的。

\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}=\displaystyle\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}\)

doletotodole

我的天, 头皮发麻, 我知道当年拉马努金为什么得出sigmaN等于-1/12了, 太狠了.

elim

王守恩 发表于 2021-1-28 17:09
还是搞个通项，请大家审阅。

\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}=\displaystyle\s ...

\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}=\displaystyle\sqrt{2x+x^{x^{-x}}}\)

以上式右边的不变应左边的万变， 不咋靠谱吧.

王守恩

elim 发表于 2021-1-29 10:10
\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}=\displaystyle\sqrt{2x+x^{x^{-x}}}\)

以上式右 ...

谢谢 elim！谢谢 15 楼，还是搞个通项(x>3)，请大家审阅。

\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}-1}<\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}<\sqrt{2x+\sqrt{x/4}+1}\)

王守恩

elim 发表于 2021-1-29 10:10
\(\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{\cdots+x^n}}}}=\displaystyle\sqrt{2x+x^{x^{-x}}}\)

以上式右 ...

证明不是我的强项，我先试试(略去盈亏部分)。欢迎批评！

我们有：\((\sqrt{x^n}+\sqrt{x/4})^2=x^n+\sqrt{x^{n+1}}+x/4\)

\(\sqrt{2x+\sqrt{x/4}}\)
\(=\sqrt{x+(\sqrt{x^2}+\sqrt{x/4})}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+(\sqrt{x^{3}}+x/4)}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+(\sqrt{x^{4}}+x/4)}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+(\sqrt{x^{5}}+x/4)}}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+\sqrt{x^5+(\sqrt{x^{6}}+x/4)}}}}}\)
\(=\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+\sqrt{x^5+\sqrt{x^6+\sqrt{x^{7}}+x/4}}}}}}\)