求最小的 p，使得 q/p 比 355/113 更接近 π

王守恩

uk702 发表于 2021-2-11 19:54
首先要给王老师点个赞，确实很有一套，眼光独到，总是能总结出规律性的结论出来。

那么，下一个问题是 ...

以 16604 为分界线，前面的都不行，后面的都行(直到永远！)

Table[FindInstance[{Abs[(16 n + 2351)/x - \[Pi] + 3] < 16/113 - \[Pi] + 3}, {x}, Integers], {n, -9, 4}]
{{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{x -> 16604}},
{{x -> 16717}}, {{x -> 16830}}, {{x -> 16943}}, {{x -> 17056}}}

王守恩

uk702 发表于 2021-2-11 19:54
首先要给王老师点个赞，确实很有一套，眼光独到，总是能总结出规律性的结论出来。

那么，下一个问题是 ...

找第 1 个，没必要大海捞针。
Table[FindInstance[{Abs[n/x - \[Pi] + 3] < 16/113 - \[Pi] + 3}, {x}, Integers], {n, 2300, 2400}]
{{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, \{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {},
{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{x -> 16604}}, {}, {}, {}, {},
{}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {{x -> 16717}}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {},
{}, {{x -> 16830}}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, {}, \{}, {{x -> 16943}}, {}}

天山草@

把一个实数化为与之最接近的分数：

王守恩

天山草@ 发表于 2021-2-11 20:51
把一个实数化为与之最接近的分数：

谢谢天山草！了却多年的心结(我不知道这些函数)！
Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[\[Pi] - 3, n]], {n, 2,  16}]
\(\frac{1}{7},\frac{15}{106},\frac{16}{113},\frac{4687}{33102},\frac{4703}{33215},\frac{9390}{66317},\frac{14093}{99532},\frac{37576}{265381},\frac{51669}{364913},\)
\(\frac{192583}{1360120},\frac{244252}{1725033},\frac{3612111}{25510582},
\frac{7468474}{52746197},\frac{11080585}{78256779},\frac{18549059}{131002976}\)

王守恩

天山草@ 发表于 2021-2-11 20:51
把一个实数化为与之最接近的分数：

\(我来试试，接着说：只要有第一个\ \frac{2351}{16604}，后面就容易了。\)
\(a(1)=\frac{2351}{16604}\ \ \ a(2)=\frac{2367}{16717}\ \ \ a(3)=\frac{2383}{16830}......\)
\(a(n)=\frac{2351+16n}{16604+113n}\ \ \ 2351=52163-16604×3\)
\(根据这通项公式，n=146:\frac{4687}{33102}\ \ \ \ n=147:\frac{4703}{33215}\)
\(根据这通项公式，一个比一个逼近\ \pi\ \ \ ....\)

uk702

王守恩 发表于 2021-2-12 08:13
\(我来试试，接着说：只要有第一个\ \frac{2351}{16604}，后面就容易了。\)
\(a(1)=\frac{2351}{16604 ...

易知 \(\frac{355}{113}\) = 3.141592920 > \(\pi\) > \(\frac{52163}{16604}\)=3.141592387。

相对于 16604 这个大山头而言，113 是个小不点，于是从 16604 起，分母每次加 113（分子同时加 355），只是将 \(\frac{52163 + 355*i}{16604+113*i}\) 拉高一点点，使之越来越接近 \(\pi\)，直止有某个 i ，使得  \(\frac{52163 + 355*i}{16604+113*i}\) ≧ \(\pi\)（解得 i = 146.635），从此以后，若 i 再往上加，它只会越来越背离 \(\pi\)，并将无限逼近  \(\frac{355}{113}\) = 3.141592920

王守恩

uk702 发表于 2021-2-12 12:41
易知 \(\frac{355}{113}\) = 3.141592920 > \(\pi\) > \(\frac{52163}{16604}\)=3.141592387。

相对 ...

挺佩服大佬们的巧思(反思我们的心不够静)，启发蛮大，从小数说起。
1，\((7×2×(\frac{22}{7}-\pi))^{-1}=56.488\)
\(\ \ \ 这表明，如果有个分数\ \frac{q}{p}\ 比\ \frac{22}{7}\ 更接近\ \ \pi，其分母一定大于56。\)
2，\(这一串分数是：\frac{179}{57},\frac{201}{64},\frac{223}{71},\frac{245}{78},\frac{267}{85},\frac{289}{92},\frac{311}{99},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{377}{120},...\)
3，\(当然，\frac{22}{7}可以换成其他的数(\ e\ 也可以)。\)

elim

设\(\pi=[a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots],\, {\large\frac{p_k}{q_k}}=[a_0,\ldots,a_k],\;\small(\gcd(p_k,q_k)=1)\)．
试证：
\((1)\quad\small\dfrac{p_{2k}}{q_{2k}}<\dfrac{p _{2k+2}}{q_{2k+2}}<{\large\pi}< \dfrac{p_{2k+3}}{q_{2k+3}}<\dfrac{p _{2k+1}}{q_{2k+1}}\;\;(\forall k)\);
\((2)\quad\big|\pi-{\large\frac{p_k}{q_k}}\big|<{\large\frac{1}{q_k^2}}\).

王守恩

应该有这样一串数：
\(第1个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^1}\)
\(第2个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^2}\)
\(第3个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^3}\)
\(第4个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^4}\)
\(第5个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^5}\)
\(第6个分数-(\pi-3)的误差小于\frac{1}{10^6}\)
........
可以有吗(当然，我们希望分子小一点)？

uk702

gp 有个 bestappr(x, n) 函数，返回分母小于 a 时的最接近的分数。
(21:06) gp > apply((i)->bestappr(Pi, 10^i), [1..20])
%18 = [22/7, 22/7, 355/113, 355/113, 312689/99532, 1146408/364913, 5419351/1725033, 245850922/78256779, 2549491779/811528438, 21053343141/6701487259, 21053343141/6701487259, 1783366216531/567663097408, 8958937768937/2851718461558, 139755218526789/44485467702853, 428224593349304/136308121570117, 30246273033735921/9627687726852338, 66627445592888887/21208174623389167, 2646693125139304345/842468587426513207, 2646693125139304345/842468587426513207, 310093106587889677608/98705701464369232559]