求证:方程没有整数解

太阳

A不大于10万，是找不到反例

太阳

1+10^98+10^(2*98)=3kp^n，有整数解吗？

yangchuanju

由294个1变成1加97个0，一个1，97个0，一个1，需除以98个1；又查知98个1由8个素因子组成，但这8个素因子中不含素因子7；表明上面的3个素因子7都是有效的。
943 11
944 197
945 239
946 4649
947 909091
948 505885997
949 1976730144598190963568023014679333
950 5076141624365532994918781726395939035533

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 10:27
A=81，没有整数解

含243个1构成的正整数111…1由16个素因子组成，其中含5个素因子3：
3080 3
3081 3
3082 3
3083 3
3084 3
3085 37
3086 163
3087 757
3088 9397
3089 333667
3090 2462401
3091 440334654777631
3092 676421558270641
3093 411361786890737698932559
3094 130654897808007778425046117
3095 810316718654935254370114242173495345974018609204623064367629310709846 283851718998731856856949061264781563433202832207926987960406521712613
由243个1变成1加80个0，一个1，80个0，一个1，需除以81个1；又查知81个1由13个素因子组成，这13个素因子中含4个素因子3；去掉后还剩3个素因子3、411361786890737698932559（24位）及
810316718654935254370114242173495345974018609204623064367629310709846 283851718998731856856949061264781563433202832207926987960406521712613（138位），本例无效。

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 10:37
1+10^98+10^(2*98)=3kp^n，有整数解吗？

由一个1，97个0，一个1，97个0，一个1的正整数1+10^98+10^(2*98)由16个素因子组成，其中含3个素因子7：
3937 3
3938 7
3939 7
3940 7
3942 13
3943 37
3944 43
3945 127
3948 1933
3949 2689
3951 63799
3952 459691
3954 4715467
3955 10838689
3957 267652966241599
3958 2603941883787374089
3960 4769337181464959147997704753876850429427
3962 142857157142857142856999999985714285714285857142857142855714285571428571428572857143

太阳

给出一个反例，才是硬道理

yangchuanju

太阳 发表于 2021-2-23 11:35
给出一个反例，才是硬道理

反例已经给你，还不行吗？
你的10万以内无反例的根据是什么？

太阳

yangchuanju

已将16个素因子连乘，最终得到10^196+10^98+1，16个素因子可表示成3*7^3*k的形式，复核正确。
随着指数的增大，一定有更多个含3个相同素因子的正整数100...010...001，或许还有含4个、5个相同素因子的。由于10^500-1的分解式本人尚未找到，无法给出具体数值！

太阳