方程没有正整数解

太阳

[1+10^5n+100^5n]/3必定是合数

太阳

已知：整数a>0，t>1，v>0，2^a=n，[1+10^(5n)+100^(5n)]/(3*7*13*37)=k，
结论：k分成素数乘积，这些素数的尾数是1，这个结论是正确吗？

太阳

这些题目，意义不大，找不到大素数

yangchuanju

对于素因子31：
当s=1，t=11时(45t-30)/(15*31s)=465/465=1，k与k31同时出现；
当s=2，t=21时(45t-15)/(15*31s)=930/930=1，k与k31同时出现。
k=465，5n=155，n=31
1111111111…<465>中含素因子31的平方，
1111111111…<155>中不含素因子31，
1+10^155+100^155中仍含有素因子31的平方。

当s=1，t=321时(45t-30)/(15*31*31s)=14415/14415=1，k与k31同时出现；
当s=2，t=641时(45t-15)/(15*31*31s)=28830/28830=1，k与k31同时出现。
k=14415，5n=4805，n=961
1111111111…<14415>中含素因子31的立方，
1111111111…<4805>中不含素因子31，
1+10^4805+100^4805中仍含有素因子31的立方。
按题目要求，m需大于2，此时出现31的立方，故31是题目所给原方程的一组正整数解。

yangchuanju

对于素因子11：
当s=15，t=8时(45t-30)/(22s)=330/330=1，k与k11同时出现；
当s=30，t=15时(45t-15)/(22s)=660/660=1，k与k11同时出现。
k=330，5n=110，n=22
1111111111…<330>=3*7*11^2*13*23*…
1111111111…<110>=11^2*23*41*271*…
1+10^110+100^110中不再含有素因子11；
同样1+10^220+100^220中也不含有素因子11；题目无正整数解11。

当s=15，t=81时(45t-30)/(242s)=3630/3630=1，k与k11同时出现；
当s=30，t=162时(45t-15)/(242s)=7260/7260=1，k与k11同时出现。
k=330，5n=110，n=22
1111111111…<3630>中含素因子11的立方；
1111111111…<1210>中亦含素因子11的立方；
1+10^1210+100^1210中不再含有素因子11；
同样1+10^2420+100^2420中也不含有素因子11；题目无正整数解11。

yangchuanju

对于周期等于5的素因子41和271：
当s=6，t=28时(45t-30)/(5*41s)=1230/1230=1,
当s=3，t=14时(45t-15)/(5*41s)=615/615=1，
k与k41同时出现。
k=1230，5n=410，n=82，
1111111111…<1230>中含素因子41的平方，
1111111111…<410>中亦含素因子41的平方，
1+10^410+100^410中不再含有素因子41；
k=615，5n=205，n=41，
1111111111…<615>中含素因子41的平方；
1111111111…<205>中亦含素因子41的平方；
1+10^205+100^205中不再含有素因子41。

当s=6，t=181时(45t-30)/(5*271s)=8130/8130=1,
当s=3，t=91时(45t-15)/(5*271s)=4065/4065=1，
k与k271同时出现。
k=8130，5n=2710，n=542，
1111111111…<8130>中含素因子271的平方，
1111111111…<2710>中亦含素因子271的平方，
1+10^2710+100^2710中不再含有素因子271；
k=4065，5n=1355，n=271，
1111111111…<4065>中含素因子271的平方；
1111111111…<1355>中亦含素因子271的平方；
1+10^1355+100^1355中不再含有素因子271。

当s=6，t=1121时(45t-30)/(5*41*41s)=50430/50430=1,
当s=3，t=561时(45t-15)/(5*41*41s)=25215/25215=1，
k与k41同时出现。
k=50430，5n=16810，n=3362，
1111111111…<50430>中含素因子41的立方，
1111111111…<16810>中含素因子41的立方，
1+10^16810+100^16810中不再含有素因子41；
k=25215，5n=8405，n=1681，
1111111111…<25215>中含素因子41的立方；
1111111111…<8405>中亦含素因子41的立方；
1+10^8405+100^8405中不再含有素因子41。

当s=6，t=48961时(45t-30)/(5*271*271s)=2203230/2203230=1,
当s=3，t=24481时(45t-15)/(5*271*271s)=1101615/1101615=1，
k与k271同时出现。
k=2203230，5n=734410，n=146882，
1111111111…<2203230>中含素因子271的立方，
1111111111…<734410>中亦含素因子271的立方，
1+10^734410+100^734410中不再含有素因子271；
k=1101615，5n=2672055，n=734411，
1111111111…<1101615>中含素因子271的立方；
1111111111…<367205>中亦含素因子271的立方；
1+10^3672055+100^3672055中不再含有素因子271。

本题原方程无正整数解41和271。

yangchuanju

对于周期等于6的素因子7和13：
当s=10，t=10时(45t-30)/(6*7s)=420/420=1,
当s=20，t=19时(45t-15)/(6*7s)=840/840=1，
k与k7同时出现。
k=420，5n=140，n=28，
1111111111…<420>中含素因子7的平方，
1111111111…<140>中不含素因子7，
相除得1+10^140+100^140中含有素因子7的平方；
k=840，5n=280，n=56，
1111111111…<840>中含素因子7的平方，
1111111111…<280>中不含素因子7，
相除得1+10^280+100^280中含有素因子7的平方。

当s=10，t=18时(45t-30)/(6*13s)=780/780=1,
当s=20，t=35时(45t-15)/(6*13s)=1560/1560=1，
k与k13同时出现。
k=780，5n=260，n=52，
1111111111…<780>中含素因子13的平方，
1111111111…<260>中不含素因子13，
相除得1+10^260+100^260中含有素因子13的平方；
k=1560，5n=520，n=104，
1111111111…<1560>中含素因子13的平方，
1111111111…<520>中不含素因子13，
相除得1+10^520+100^520中含有素因子13的平方。

当s=10，t=66时(45t-30)/(6*7*7s)=2940/2940=1,
当s=20，t=131时(45t-15)/(6*7*7s)=5880/5880=1，
k与k7同时出现。
k=2940，5n=980，n=196，
1111111111…<2940>中含素因子7的立方，
1111111111…<980>中不含素因子7，
相除得1+10^980+100^980中含有素因子7的立方；
k=5880，5n=1960，n=392，
1111111111…<5880>中含素因子7的立方；
1111111111…<1960>中含素因子7；
相除得1+10^1960+100^1960中含有素因子7的立方。
本题原方程分子含有素因子7的立方，令分母中的x^m=7^3可正整数商。

当s=10，t=226时(45t-30)/(6*13*13s)=10140/10140=1,
当s=20，t=451时(45t-15)/(6*13*13s)=20280/20280=1，
k与k13同时出现。
k=10140，5n=3380，n=676，
1111111111…<10140>中含素因子13的立方，
1111111111…<3380>中不含素因子13，
相除得1+10^3380+100^3380中含有素因子13的立方；
k=20280，5n=6760，n=1352，
1111111111…<20280>中含素因子13的立方，
1111111111…<6760>中不含素因子13，
相除得1+10^6760+100^6760中含有素因子13的立方。
本题原方程分子含有素因子13的立方，令分母中的x^m=13^3可正整数商。

按题目要求，m需大于2，此时出现7和13的立方，故7和13是题目所给原方程的一组正整数解。

yangchuanju

对于素因子37：
当s=5，t=13时(45t-30)/(3*37s)=555/555=1，k与k37同时出现；
当s=10，t=25时(45t-15)/(3*37s)=1110/1110=1，k与k37同时出现。
k=555，5n=185，n=37
1111111111…<555>中含素因子37的平方，
1111111111…<185>中不含素因子37，
相除的1+10^185+100^185中仍含有素因子37的平方。
k=1110，5n=370，n=74
1111111111…<1110>中含素因子37的平方，
1111111111…<370>中不含素因子37，
相除的1+10^370+100^370中仍含有素因子37的平方。

当s=5，t=457时(45t-30)/(3*37*37s)=20535/20535=1，k与k37同时出现；
当s=10，t=913时(45t-15)/(3*37*37s)=41070/41070=1，k与k37同时出现。
k=20535，5n=6845，n=1369
1111111111…<20535>中含素因子37的立方，
1111111111…<6845>中不含素因子37，
1+10^6845+100^6845中仍含有素因子37的立方。
k=41070，5n=13690，n=2738
1111111111…<41070>中含素因子37的立方，
1111111111…<13690>中不含素因子37，
1+10^13690+100^13690中仍含有素因子37的立方。

本题原方程分子含有素因子37的立方，令分母中的x^m=37^3可正整数商。
按题目要求，m需大于2，此时出现37的立方，故37是题目所给原方程的一组正整数解。

本题原方程除有正整数解31、7、13外，还有正整数解37；但没有正整数解11、41和271。
对于其它周期素数未进行检验，不下定论！

本题原方程除有正整数解31、7、13外，还有正整数解37；但没有正整数解11、41和271。
本题认定原方程无正整数解，命题不正确！

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-3 21:43
已知：整数a>0，t>1，v>0，2^a=n，[1+10^(5n)+100^(5n)]/(3*7*13*37)=k，
结论：k分成素数乘积，这些素数 ...

借太阳老师的平台，发表了学生对10…010…01型数字分解式中素因子含量和分布的一些粗浅分析和看法，
尽管反复检查复核，文中仍可能存在许多错误，请老师指正！
谢谢了！

太阳

n不是3的倍数，m>1，[1+10^5n+100^5n]/3x^m=y，有等式关系，结论：x最大值37，是否正确吗？