矩形ABCD中，AD=2，AB=2√3，E 在 AB 上，DF=1，CG=√3，求 ΔEFG 周长和面积的最小值

王守恩

FGNBGHJUOI 发表于 2021-4-22 11:26
好吧，不说共不共线的问题，那周长的最小值有根式答案么。。不求过程了

周长的最小值没有根式答案，就连下面最简单的也没有。
矩形ABCD中，AD=AB=30，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ΔEFG 周长最小值(=64)

elim

王守恩 发表于 2021-4-26 20:56
周长的最小值没有根式答案，就连下面最简单的也没有。
矩形ABCD中，AD=AB=30，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ...

elim

@王守恩:  与楼上的设定相应的最小面积\(\min|\triangle EFG|=?\).

FGNBGHJUOI

elim 发表于 2021-4-27 14:48

解法真妙，精彩！

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-4-25 09:38
记
\(2=a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}\)
\(1=a_{1}^2+d_{1}^2\ \ \ \ 3=b_{1}^2+d_{2}^2\)

支持，不错

王守恩

elim 发表于 2021-4-27 21:30
@王守恩:  与楼上的设定相应的最小面积\(\min|\triangle EFG|=?\).

1,矩形ABCD中，AD=AB=30，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ΔEFG 周长最小值(=64)

NMinimize[{Sqrt[x^2 + (u - v)^2] + Sqrt[y^2 + (v + z - u)^2] + Sqrt[z^2 + (x - y)^2],
100 == v^2 + (30 - x)^2, 100 == (30 - y)^2 + (30 - v - z)^2}, {x, y, z, u, v}]
{64., {x -> 24., y -> 24., z -> 14., u -> 15., v -> 8.}}

2,矩形ABCD中，AD=AB=30，E 在 AB 上，DF=CG=10，求 ΔEFG 面积最小值(=119.722)？

NMinimize[{1/2 Sqrt[((u - v) (x - y) - x z)^2],
100 == v^2 + (30 - x)^2, 100 == (30 - y)^2 + (30 - v - z)^2}, {x, y, z, u, v}]
{119.722, {x -> 30., y -> 24.4528, z -> 11.6796, u -> 30., v -> 10.}}

elim

考虑一般情形：矩形 ABCD, 长\(\times\)高\(=lh\)
分析：设\(({\small(G-F)}\cdot (0,1)\ge 0\), 则\(E=B\)使\(\triangle\)面积最小.
进一步知道\(\overline{CG}\perp\overline{FE}\subset\Gamma_{\theta}\)时达到相对于\(\theta\)的最小值. 记相应的三角
形为\(\triangle_{\theta},\,\)则所求最小值为\(\,\displaystyle\min_{0\le\,\theta\le\,\pi/2}|\triangle_{\theta}|.\) 不难给出具体的解析式。

王守恩

elim 发表于 2021-4-28 09:26
考虑一般情形：矩形 ABCD, 长\(\times\)高\(=lh\)
分析：设\(({\small(G-F)}\cdot (0,1)\ge 0\), 则\(E= ...

赞一个！看懂了，119.722是这样来的！
\(119.722=\frac{20*30-10\sqrt{20^2+30^2}}{2}\)
赞一个！看懂了，119.722是这样来的！

elim

数学的精髓不在于数值计算，而在于对问题的深入洞察和发现规律，法则。
本主题的面积问题最后被表示为一个向量的最小长度问题，其乐无穷。

elim

以上是线段乘积的尺规作冂图. 其中\(\overline{AB}\parallel\overline{CD}\). 由此
可以理解为什么楼上的绿色向量的长度恰为绿色三角形面积值.
使用Geogebra app, 用鼠标拖动点\(F\) 可以实时看到所论向量
的伸缩.