整除猜想

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-25 15:13
[(10^k^2+1)/(10^k+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，找到反例

不同指数的整除性
上文第二、第三部分分别计算了t=4、5、6时的工况各三种，可简单说成5+5，3+5，平方+5型，具体解释如下：
三种类型大分式的大分母是相同的，都是[(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，其分子的指数是分母指数的5倍。
大分母的分母(100^t-10^t+1)是（10^6t-1）/9的一个因子，即（最大）φ因子——φ6t；
大分母的分子(100^5t-10^5t+1) 是（10^30t-1）/9的一个因子，即（最大）φ因子——φ30t；
分子中包含有分母的φ因子——φ6t，故可整除，相除后剩余（最大）φ因子——φ30t和一些其它因子。

例t=1，100^5t-10^5t+1=100^5-10^5+1=10^10-10^5+1=9999900001= P1 * P2 * P3 * P3 * P4，P1=7，P2 =13，P3 =211，P3=241，P4 =2161；其中φ6_1=7，φ6_2=13，φ30_1=211，φ30_2=241，φ30_3=2161；
100^t-10^t+1=10^2-10^1+1=91=7*13，φ6_1=7，φ6_2=13；
相除，φ6_1=7，φ6_2=13被消除，剩余三φ30积109889011。

例t=2，100^5t-10^5t+1=100^10-10^10+1=10^20-10^10+1=99999999990000000001=P2 * P4 * P7 * P8，P2 = 61，P4 = 9901，P7 = 4188901，P8 = 39526741；其中φ60_1=61，φ60_2=4188901，φ60_3=39526741，φ12=9901；
100^t-10^t+1=10^4-10^2+1=9901（素数），φ12=9901；
相除，φ12=9901被消除，剩余三φ60积10099989899000101。

yangchuanju

（一）5+5型：
大分式的分子是[(10^5n+1)/(10^n+1)]， (10^n+1)的φ因子是φ2n；(10^5n+1) 的φ因子是φ10n；要想使分式整除，分子中必须包含因子φ30t。

例n=3，10^3+1=1001=11*（7*13）=φ2*φ6；10^15+1=1000000000000001<16> = 7×11×13×211×241×2161×9091，
其中φ6_1=7, φ2=11, φ6_2=13, φ30_1=211, φ30_2=241, φ30_3=2161, φ10=9091, φ20_2=27961；相除后φ2*φ6被消除，但φ30=211×241×2161被保留。

例n=6，10^6+1=1000001=101*9901=φ4*φ12；10^30+1=1000000000000000000000000000001= 61×101×3541×9901×27961×4188901×39526741，
其中φ60_1=61, φ4=101, φ20_1=3541, φ12=9901, φ20_2=27961, φ60_2=4188901, φ60_3=39526741；相除后φ4*φ12被消除，但φ60=61×4188901×39526741被保留
[(10^30+1)/(10^6+1)]可被[(100^10-10^10+1)/(100^2-10^2+1)]整除，但分母[(100^10-10^10+1)/(100^2-10^2+1)]不是素数。

通过以上两次分析，并前后延伸可知，对于5+5型大分式[(10^5n+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，
只要满足下表条件，都能整除，但只有t=4和5时是素数。（表1）
t        n        分子最大φ因子        分母最大φ因子        整除性        分母素性
1        3        30        30        可整除        合数
2        6        60        60        可整除        合数
3        9        90        90        可整除        合数
4        12        120        120        可整除        素数
5        15        150        150        可整除        素数
6        18        180        180        可整除        合数
7        21        210        210        可整除        合数
8        24        240        240        可整除        合数

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（二）3+5型：
大分式的分子是[(10^3n+1)/(10^n+1)]， (10^n+1)的φ因子是φ2n；(10^6n+1) 的φ因子是φ6n；要想使分式整除，分子中必须包含因子φ30t。

例n=5，10^5+1=1000001=101×9901=φ4*φ10；
10^15+1=1000000000000001=7×11×13×211×241×2161×9091，
其中φ6_1=7, φ2=11, φ6_2=13, φ30_1=211, φ30_2=241, φ30_3=2161，φ10=9091；相除后φ4*φ10被消除，但φ30被保留。
[(10^15+1)/(10^5+1)]可被[(100^5-10^5+1)/(100^1-10^1+1)]整除，但分母(100^5-10^5+1)/(100^1-10^1+1)= 109889011不是素数。

例n=10，10^10+1=10000000001= 101 × 3541 × 27961=φ4*φ20_1*φ20_1；
10^30+1=1000000000000000000000000000001= 61×101×3541×9901×27961×4188901×39526741，
其中φ60_1=61, φ4=101, φ20_1=3541, φ12=9901, φ20_2=27961, φ60_2=4188901, φ60_3=39526741；相除后φ4*φ20被消除，但φ60被保留。
[(10^30+1)/(10^10+1)]可被[(100^10-10^10+1)/(100^2-10^2+1)]整除，但分母[(100^10-10^10+1)/(100^2-10^2+1)]不是素数。

对于3+5型大分式[(10^3n+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，
只要满足下表条件，都能整除，但只有t=4和5时是素数。（表2）
t        n        分子最大φ因子        分母最大φ因子        整除性        分母素性
1        5        30        30        可整除        合数
2        10        60        60        可整除        合数
3        15        90        90        可整除        合数
4        20        120        120        可整除        素数
5        25        150        150        可整除        素数
6        30        180        180        可整除        合数
7        35        210        210        可整除        合数
8        40        240        240        可整除        合数

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或n取较大数值，但需满足与分母最大φ因子相等的φ因子不得被消除：
现以t=1为例，n=25，大分子的分母（10^25+1）=11×251×5051×9091×78875943472201<14>；
分子（10^75+1）=7×11×13×211×241×251×2161×5051×9091×78875943472201<14>×10000099999999989999899999000000000100001<41>
相除后得7×13×211×241×2161×10000099999999989999899999000000000100001<41>，φ30=211×241×2161被保留。

再以t=2为例，n=50，大分子的分母（10^50+1）=101×3541×27961×60101×7019801×14103673319201<14>×1680588011350901<16>；
分子（10^150+1）=61×101×601×3541×9901×27961×60101×261301×3903901×4188901×7019801×39526741×168290119201<12> × 14103673319201<14>×1680588011350901<16>×25074091038628125301<20>×38654658795718156456729958859629701<35>
相除后得61×601×9901×261301×3903901×4188901×39526741×168290119201<12> ×25074091038628125301<20> × 38654658795718156456729958859629701<35>，φ60=61×4188901×39526741被保留。
增大t，n的取范围，最后可得下表：
对于3+5型大分式[(10^3n+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]，只要满足下表条件，都能整除，但只有t=4和5时是素数。
（表3）
t        n        分子最大φ因子        分母最大φ因子        整除性        分母素性
1        25        150        30        可整除        合数
2        50        300        60        可整除        合数
3        75        450        90        可整除        合数
4        100        600        120        可整除        素数
5        125        750        150        可整除        素数
6        150        900        180        可整除        合数
7        175        1050        210        可整除        合数
8        200        1200        240        可整除        合数

当t=1时，若取n=15；当t=2时，若取n=30；……，则φ30，φ60，……在消除时被消除，大分子不能整除。

yangchuanju

（三）平方+5型：
[(10^n^2+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]

当t=1时，大分式的分母最大φ因子是30，要整除，分子中也必须有φ30=211*241*2906161因子。
令n分别等于1,2,3……14，n^2等于1,4,9……196，其中分母φ因子分别为2,4,6，……28，分子φ因子分别为2,8,18，……392；均不能完全相除，或根本不能相除；

令n=15，分母最大φ因子是30，分子最大φ因子是450，内含φ30因子，相除时被消除；大分子不再含有φ30，不能与大分母整除。

令n=30，分母最大φ因子是60，内含φ30因子；分子最大φ因子是φ1800（=30*30*2），内不含φ30因子，完全不能相除。

令n=45，分母最大φ因子是90，内含φ30因子；分子最大φ因子是φ4050（=45*45*2），内bu含φ30因子，完全不能相除。

t=1无解！

yangchuanju

当t=2时，大分式的分母最大φ因子是60，要整除，分子中也必须有φ60因子。
令n=15，n平方等于225，分母不含φ60，因225*2=450不是60的整倍数，分子不含φ60，虽能完全整除，但不含φ60；不能与大分母相除。
令n=30，n平方等于900，分母含φ60，但分子不含φ60，不能整除；也不能与大分母整除。
令n=45，分母不含φ60，分子n平方等于2025，也一定含φ60，虽可完全整除，但因不含φ60，不能与大分母整除；
令n=60，分母不含φ60；分子n平方等于3600，也一定含φ60，且大分子不能整除。
t=2也无解！

yangchuanju

当t=3时，大分式的分母最大φ因子是90，要整除，分子中也必须有φ90因子。
令n=30，n平方等于900，分母不含φ90，分子也不含φ90，且不能整除。
令n=45，分母含φ90= 29611×3762091×8985695684401<13>，分子n平方等于2025，含φ90，完全整除，但因再不含φ90，不能与大分母整除；
令n=60，分母不含φ90= 29611×3762091×8985695684401<13>，分子n平方等于3600，不含φ90，不能整除；
令n=90，分母不含φ90= 29611×3762091×8985695684401<13>，分子n平方等于8100，不含φ90，不能整除；
t=3也无解！

yangchuanju

原认为t=4和t=6有一组特解，经复核，它们都不是正确解！

经大量计算和复核，只发现当t=5，n=15，n^2=225时是该类型命题的一个解！
请参看5楼贴！

就这么一个特例，这么能说它必定是素数呢？

yangchuanju

33位唯一循环周期φ因子——出现在哪里？
Φ120(10) = 100009999999899989999000000010001<33>，这是一个33位的大素数，它最早出现在R120=(10^120-1)/9中，R每增加120再显一次，正常规律；在(10^n+1)中，仅在指数n等于60及60的奇数倍出现，偶数倍均不出现。

已知(10^n-1)/9=(10^2k-1)/9中的指数n=120,240,360,480,600……中都有一个φ120，
(10^2k-1)/9=(10^k+1)*(10^k-1)/9，当k=60,180,300……时(10^k+1)中有φ120，
那么当k=120,240,360……时φ120应该含在(10^k-1)/9中，与指数n=120,240,360,480,600……中都有一个φ120是一致的！
要想在(10^k+1)中找到φ120，应在k=60,180,300……系列中寻找。

在寻找太阳先生的[(10^n^2+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]系统中可整除素数时，
令t=4，大分式的分母就只剩下这个33位的素数了——φ120。
大分式要整除，大分子必须含有这个φ因子素数；大分子即有含有φ120，又要整除，那么它的分子应含φ120，而分母不含φ120（这只有能整除的一个条件）；n^2=60,180,300……900,960……，其中最小的平方数是900，此时n=30。
符合条件的n找到后，还有审核(10^900+1)和（10^30+1）能不能整除；经审核不能整除；
扩大搜索范围，当n=90,150,210,270,330……，n^2=8100,22500,44100,72900,108900……时，(10^n^2+1)中都有一个φ120，且(10^n+1)中都没有这个φ120；然而它们中没有能整除的。  T=4仍旧是无解的。

yangchuanju

41位唯一循环周期φ因子——出现在哪里？
Φ150(10)=1000009999999998999989999900000000010000&#172;1<41>，这是一个41位的大素数，它最早出现在R150=(10^150-1)/9中，R每增加150再显一次，正常规律；在(10^n+1)中，仅在指数n等于75及75的奇数倍出现，偶数倍均不出现。

已知(10^n-1)/9=(10^2k-1)/9中的指数n=150,300,450,600……中都有一个φ150，
(10^2k-1)/9=(10^k+1)*(10^k-1)/9，当k=75, 225,375,525……时(10^k+1)中有φ150，
那么当k=150,300,450,600……时φ150应该含在(10^k-1)/9中，与指数n=150,300,450,600……中都有一个φ150是一致的！
要想在(10^k+1)中找到φ150，应在k=75, 225,375,525……系列中寻找。

在寻找太阳先生的[(10^n^2+1)/(10^n+1)] / [(100^5t-10^5t+1)/(100^t-10^t+1)]系统中可整除素数时，
令t=5，大分式的分母就只剩下这个41位的素数了——φ150。
大分式要整除，大分子必须含有这个φ因子素数；大分子即有含有φ150，又要整除，那么它的分子应含φ150，而分母不含φ150（这只有能整除的一个条件）；n^2=75,225,375,525……2025,2175……，其中最小的平方数是2025，此时n=45。
符合条件的n找到后，还有审核(10^2025+1)和（10^45+1）能不能整除；经审核可以整除；太阳问题的又一个特解被找到！
扩大搜索范围，令n=75,105,135,195,195,225……，n^2=5625,11025,18225,27225,38025,50625……时，(10^n^2+1)中都有一个φ120，且(10^n+1)中的105,135,165,195都没有这个φ120，且它们都能整除，再次找到4组特解；
而n=75,525时(10^n+1)中也有一个φ150，φ150被消除，不能再整除大分母。  
加上前几天找到的一组特解，当t=5时共找到6组特解：t=5，n=15,45,105,135,165,195；当n=75和225是不是特解。