对数积分公式推导

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 05:16

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 05:55 编辑

对于三生素数，被积函数是1/ln(x)^3，采用《对数积分公式推导（四）》中的（40）式，
∫1/ln(x)^m dx = -x/(m-1)/ln(x)^(m-1) + 1/(m-1)* ∫1/ln(x)^(m-1) dx 式中m≠1
令m=3得
∫1/ln(x)^3 dx = -x/2/ln(x)^2 +1/2*∫1/ln(x)^2 dx
= -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
= -x/ln(x)^2/2 +[孪生素数积分式]/2
与孪生素数积分式相比，又多了一项“-x/ln(x)^2/2”，且孪生素数积分式要除以2，同样是无穷多项的。

对于四生素数，被积函数是1/ln(x)^4，采用《对数积分公式推导（四）》中的（40）式，
∫1/ln(x)^m dx = -x/(m-1)/ln(x)^(m-1) + 1/(m-1)* ∫1/ln(x)^(m-1) dx 式中m≠1
令m=4得
∫1/ln(x)^4 dx = -x/3/ln(x)^3 +1/3*∫1/ln(x)^3 dx
= -x/3/ln(x)^3 +1/3*{ -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]}
= -x/ln(x)^3/3 +[三生素数积分式]/3
= -x/ln(x)^3/3 +{ -x/ln(x)^2/2 +[孪生素数积分式]/2}/3
= -x/ln(x)^3/3 - x/ln(x)^2/6 +[孪生素数积分式]/6
与三生素数积分式相比，再多了一项“-x/ln(x)^3/3”，且三生素数积分式要除以3；
与孪生素数积分式相比，多了二项“-x/ln(x)^3/3 -x/ln(x)^2/6”，注意系数（分母）都要再除以3；无穷多项的。

可以类推，对于五生、六生素数，积分式分别还要增加次数更高的1项、2项，系数分别为1/3和1/5；原四生、五生的表达式依次再除以4和5：
预测对于五生素数∫1/ln(x)^5 dx = -x/ln(x)^4/4 +[四生素数积分式]/4；
六生素数∫1/ln(x)^6 dx = -x/ln(x)^5/5 +[五生素数积分式]/5；……

以上所谈仅是积分式本身，真正计算某种K生素数数量时，还必须乘上各自的系数——哈李常数。

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 16:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-28 22:18 编辑

∫1/ln(x)^m dx另一种积分法
上面所介绍的求K生素数个数的方法，都是无穷多项的累加和，除前K-1为负外，以后各项都是正的，理论上累加和变正以后要一路增大；只是因为后面各项数值逐渐减小，累计值增加不多，但总是要增大的。
更主要的原因是，各个积分式都是无穷多项，计算繁杂且无极值。
下面宜改为x/ln(x)^n*K进行计算，式中的K就叫它个“转换系数”吧！

对于单个素数，当数域x趋于无穷大时，它的个数趋于x/ln(x)；当x不是非常大时要乘以一个系数Li，它就相当于本文所说的转换系数。

对于孪生素数，可在x/ln(x)^2上乘以一个转换系数K=Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(k-1) 再乘以1.320323632…就认为是数域x以内孪生素数的个数。
转换系数K=Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(k-1)中的k下界为1，上界为正无穷大，因而计算式也是无穷多项的，各项正负相间。
对于2-6生素数，积分式可表示成：
∫(ln x)^(-2)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(2+k-1)=x/ln(x)^2*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(k-1)
∫(ln x)^(-3)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2! /(ln x)^(3+k-1)=x/ln(x)^3*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2! /(ln x)^(k-1)
∫(ln x)^(-4)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+2)!/3! /(ln x)^(4+k-1)=x/ln(x)^4*Σ(-1)^(k-1)*(k+2)!/3! /(ln x)^(k-1)
∫(ln x)^(-5)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+3)!/4! /(ln x)^(5+k-1)=x/ln(x)^5*Σ(-1)^(k-1)*(k+3)!/4! /(ln x)^(k-1)
∫(ln x)^(-6)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+4)!/5! /(ln x)^(6+k-1)=x/ln(x)^4*Σ(-1)^(k-1)*(k+4)!/5! /(ln x)^(k-1)
…………
∫(ln x)^(-n)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+n-2)!/(n-1)! /(ln x)^(n+k-1)=x/ln(x)^n*Σ(-1)^(k-1)*(k+n-2)!/(n-1)! /(ln x)^(k-1)

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 16:58

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 05:57 编辑

孪生素数所涉及的积分式∫(ln x)^(-2)*dx积分法推导过程见1楼的《对数积分公式推导（一》贴；二生、三生积分法推导见下。
三生素数
查积分表：∫(ln ax)^n*dx = x(ln ax)^n-n*∫(ln ax)^(n-1)*dx
上式中n≠-1，和号下限是r=0，上限是n；对于孪生素数计算公式中的a应等于1，n=-3
∫(ln x)^(-3)*dx = x*(ln x)^(-3)-3*∫(ln x)^(-4)*dx
∫(ln x)^(-4)*dx = x*(ln x)^(-4)-4*∫(ln x)^(-5)*dx
∫(ln x)^(-5)*dx = x*(ln x)^(-5)-5*∫(ln x)^(-6)*dx
……
∫(ln x)^(-3)*dx = x*(ln x)^(-3)-3*∫(ln x)^(-4)*dx
= x*(ln x)^(-3)-3*{x*(ln x)^(-4)-4*∫(ln x)^(-5)*dx}
= x*(ln x)^(-3)-3*{x*(ln x)^(-4)-4*[x*(ln x)^(-5)-5*∫(ln x)^(-6)*dx]}
=……
∫(ln x)^(-3)*dx
= x*(ln x)^(-3)-3*x*(ln x)^(-4)+3*4*x*(ln x)^(-5)-3*4*5*∫(ln x)^(-6)*dx
= 2!/2!*x*(ln x)^(-3)-3!/2!*(ln x)^(-4)+4!/2!*x*(ln x)^(-5)-5!/2!*∫(ln x)^(-6)*dx
= 2!/2!*x*(ln x)^(-3)-3!/2!*x*(ln x)^(-4)+4!/2!*x*(ln x)^(-5)-5!/2!*(ln x)^(-6)+……
= x*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2 !*(ln x)^(n-k+1)或=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2! /(ln x)^(-n+k-1)
式中n=-3。
验证指数：k=1, n+k-1= -3-1+1= -3; k=2, n-k+1= -3-2+1= -4; k=3, n-k+1= -3-3-1= -5；指数表达式可用。
∫(ln x)^(-3)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2! /(ln x)^(3+k-1)=x/ln(x)^3*Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2 !/(ln x)^( k-1)

四生素数
查积分表：∫(ln ax)^n*dx = x(ln ax)^n-n*∫(ln ax)^(n-1)*dx
上式中n≠-1，和号下限是r=0，上限是n；对于孪生素数计算公式中的a应等于1，n=-4
∫(ln x)^(-4)*dx = x*(ln x)^(-4)-4*∫(ln x)^(-5)*dx
∫(ln x)^(-5)*dx = x*(ln x)^(-5)-5*∫(ln x)^(-6)*dx
∫(ln x)^(-6)*dx = x*(ln x)^(-6)-6*∫(ln x)^(-7)*dx
……
∫(ln x)^(-4)*dx = x*(ln x)^(-4)-4*∫(ln x)^(-5)*dx
= x*(ln x)^(-4)-4*{x*(ln x)^(-5)-5*∫(ln x)^(-6)*dx}
= x*(ln x)^(-4)-4*{x*(ln x)^(-5)-5*[x*(ln x)^(-6)-6*∫(ln x)^(-7)*dx]}
=……
∫(ln x)^(-4)*dx
= x*(ln x)^(-4)-4*x*(ln x)^(-5)-4*5*x*(ln x)^(-6)-4*5*6*∫(ln x)^(-7)*dx
= 3!/3!*x*(ln x)^(-4)-4!/3!*x*(ln x)^(-5)+5!/3!*x*(ln x)^(-6)-6!/3!* (ln x)^(-7)+……
= x*Σ(-1)^(k-1)*(k+2)!/3!*(ln x)^(n-k+1)或=x*Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(-n+k-1)
式中n=-4。
验证指数：k=1, n+k-1= -4-1+1= -4; k=2, n-k+1= -4-2+1= -5; k=3, n-k+1= -4-3-1= -6；指数表达式可用。
∫(ln x)^(-4)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+2)!/3! /(ln x)^(4+k-1)=x/ln(x)^4*Σ(-1)^(k-1)*(k+2)/3! /(ln x)^(k-1)

对于n生素数，∫(ln x)^(-n)*dx=x*Σ(-1)^(k-1)*(k+n-2)!/(n-1)! /(ln x)^( n+k-1)=x/ln(x)^n*Σ(-1)^(k-1)*(k+n-2)/(n-1)! /(ln x)^(k-1)
令Σ(-1)^(k-1)*(k+n-2)/(n-1)! /(ln x)^(k -1)=K，并暂且叫它为“转换系数”；n生素数还有一个系数Cp（哈李常数）可通过其它途径得到；则x/ln(x)^n ×Cp÷K就近似的等于n生素数的个数。

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 17:19

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 06:01 编辑

对于2-4生素数，分别计算如下：
孪生素数 Σ(-1)^(k-1)*k!/(ln x)^(k-1) ×1.320323632÷K
数域x Σ值 x/ln(x)^2 积分值计算值
1E+07 0.892905503 38492.18306 34369.88208 56917.71277
1E+08 0.906029313 294705.7766 267012.0723 429464.0313
1E+09 0.915272185 2328539.469 2131247.407 3359028.867
1E+10 0.922832798 18861169.7 17405706.01 26985222.17
1E+11 0.929150102 155877435.5 144833535.1 221502060.3
1E+12 0.934508728 1309803451 1224022757 1850559977
1E+13 0.939111986 11160455444 10480917480 15690794371
1E+14 0.943109374 96230457659 90755846709 1.3472E+11
1E+15 0.946613318 8.38274E+11 7.93522E+11 1.16921E+12
1E+16 0.94971001 7.36764E+12 6.99713E+12 1.02428E+13
1E+17 0.952466645 6.52636E+13 6.21614E+13 9.04693E+13
1E+18 0.954936391 5.82135E+14 5.55902E+14 8.04877E+14

数域x 计算值孪生素数实际值计算：实际
1E+07 45379.36753 7 58980 58980 0.769403
1E+08 56917.71277 8 440312 440312 0.965034
1E+09 429464.0313 9 3424506 3424506 0.975363
1E+10 3359028.867 10 27412679 27412679 0.98088
1E+11 26985222.17 11 224376048 2.24E+08 0.984407
1E+12 221502060.3 12 1870585220 1.87E+09 0.987191
1E+13 1850559977 13 15834664872 1.58E+10 0.989295
1E+14 15690794371 14 135780321665 1.36E+11 0.990914
1E+15 1.3472E+11 15 1177209242304 1.18E+12 0.992188
1E+16 1.16921E+12 16 10304195697298 1.03E+13 0.993208
1E+17 1.02428E+13 17 90948839353159 9.09E+13 0.99404
1E+18 9.04693E+13 18 808675888577436 8.09E+14 0.994728

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 17:19

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 06:03 编辑

三生素数 Σ(-1)^(k-1)*(k+1)!/2! /(ln x)^(k-1) ×2.858248596÷K
数域x 转换系数K *x/ln(x)^3 积分值计算值
1E+07 0.863079674 2388.134672 2061.150493 7908.751392
1E+08 0.865502011 15998.63657 13846.85212 52834.17017
1E+09 0.877918521 112363.538 98646.03109 365823.1571
1E+10 0.888420245 819130.1923 727731.8459 2635326.847
1E+11 0.897258558 6154246.374 5521950.227 19604567.6
1E+12 0.904795361 47403367.61 42890347.09 149747241
1E+13 0.911298913 372840324.2 339768982.3 1169397130
1E+14 0.916968547 2985168339 2737305475 9304957343
1E+15 0.92195533 24270524218 22376339157 75243549807
1E+16 0.926375853 1.99983E+11 1.85259E+11 6.17029E+11
1E+17 0.930321551 1.66727E+12 1.5511E+12 5.1224E+12
1E+18 0.93386515 1.40454E+13 1.31165E+13 4.29884E+13

数域x 计算值三生素数实际值计算：实际
1E+07 5891.280504 7 17220 17220 0.684237
1E+08 7908.751392 8 111156 111156 0.918554
1E+09 52834.17017 9 759256 759256 0.950631
1E+10 365823.1571 10 5425573 5425573 0.963636
1E+11 2635326.847 11 40174725 40174725 0.971446
1E+12 19604567.6 12 305689269 3.06E+08 0.975965
1E+13 149747241
1E+14 1169397130
1E+15 9304957343
1E+16 75243549807
1E+17 6.17029E+11
1E+18 5.1224E+12

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 17:20

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 06:05 编辑

四生素数 Σ(-1)^(k-1)*(k+2)!/3! /(ln x)^(k-1) ×4.151180864÷K
数域x 转换系数K *x/ln(x)^4 积分值计算值
1E+07 0.735631638 148.1648157 108.994726 836.0963778
1E+08 0.825848174 868.5149475 717.2614834 4365.648244
1E+09 0.843308984 5422.09606 4572.502318 26690.21893
1E+10 0.856406271 35574.37225 30466.11549 172436.4455
1E+11 0.86742668 242977.7491 210765.3821 1162800.968
1E+12 0.876867134 1715585.081 1504340.173 8121759.483
1E+13 0.8850478 12455576.57 11023780.65 58420970.14
1E+14 0.892205934 92603009.81 82620954.84 430855509.6
1E+15 0.898522472 702703649.4 631395020.3 3246496368
1E+16 0.904137939 5428218422 4907858216 24922653358
1E+17 0.909163158 42593326528 38724283254 1.94478E+11
1E+18 0.913686722 3.38881E+11 3.09631E+11 1.53965E+12

数域x 计算值四生素数实际值计算：实际
1E+07 836.0963778 7 899 899 0.930029
1E+08 4365.648244 8 4768 4768 0.915614
1E+09 26690.21893 9 28388 28388 0.940194
1E+10 172436.4455 10 180529 180529 0.955173
1E+11 1162800.968 11 1209318 1209318 0.961534
1E+12 8121759.483 12 8398278 8398278 0.967074
1E+13 58420970.14
1E+14 430855509.6
1E+15 3246496368
1E+16 24922653358
1E+17 1.94478E+11
1E+18 1.53965E+12

yangchuanju · 发表于 2021-5-28 22:51

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 06:11 编辑

通过对两种积分法所得结果对比分析知，第一种积分法所得素数精度要比第二种积分法高一些。
其实，第二种积分法也是无穷多项的，并没有简化多少！

请注意：采用第二种积分法，n生素数数量计算公式为 x/ln(x)^n×Cp÷K，式中Cp——哈李常数，K——转换系数。

建议采用第一种积分法为好！

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 07:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 07:08 编辑

第三种积分法——分部积分法

白新岭先生在计算孪生素数及三生、四生素数时采用的分部积分法给定公式是
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n+k-2)!/(k-1)! / (LN(N))^(n+k-1)]
式中大写“N”是范围值，小写“n”是项数变量，从1到无穷大。

对于孪生素数k=2，白新岭分部积分式可简化为
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n)! /1!/ (LN(N))^(n+1)]
展开=N*[1/(lnN)^2+2/(lnN)^3+6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+……

对于三生素数k=3，白新岭分部积分式可简化为
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n+1)!/2!/ (LN(N))^(n+2)]
展开=1/2*N*[2/(lnN)^3+6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+720/(lnN)^7+……
=N*[1/(lnN)^3+3/(lnN)^4+12/(lnN)^5+60/(lnN)^6+360/(lnN)^7+……

对于四生素数k=4，白新岭分部积分式可简化为
∫(UV)dx=UV-∫(U)dv=N*[∑(n+2)!/3!/ (LN(N))^(n+2)]
展开=1/6*N*[6/(lnN)^4+24/(lnN)^5+120/(lnN)^6+720/(lnN)^7+5040/(lnN)^8+……
=N*[1/(lnN)^4+4/(lnN)^5+20/(lnN)^6+120/(lnN)^7+840/(lnN)^8+……

数域N取值10至10^12，项数截至30，按白新岭先生给出的分部积分法计算，结果如下：
孪生素数：
N 分部积分孪生实际分部：实际
10 —— 1 2 2 ——
100 —— 2 8 8 ——
1000 —— 3 35 35 ——
10000 —— 4 205 205 ——
100000 —— 5 1224 1224 ——
1000000 —— 6 8169 8169 ——
1E+07 59055.1978 7 58980 58980 1.001275
1E+08 440426.716 8 440312 440312 1.0002605
1E+09 3425326.11 9 3424506 3424506 1.0002395
1E+10 27411423.4 10 27412679 27412679 0.9999542
1E+11 224368867 11 224376048 2.24E+08 0.999968
1E+12 1870559867 12 1870585220 1.87E+09 0.9999864

三生素数：
N 分部积分三生两种实际分部：实际/2
10 —— 1 0 0 ——
100 —— 2 8 8 ——
1000 —— 3 30 30 ——
10000 —— 4 112 112 ——
100000 —— 5 507 507 ——
1000000 —— 6 2837 2837 ——
1E+07 8911.50215 7 17220 17220 1.0350177
1E+08 55548.7038 8 111156 111156 0.9994729
1E+09 379816.293 9 759256 759256 1.000496
1E+10 2715293.83 10 5425573 5425573 1.0009243
1E+11 20089654.6 11 40174725 40174725 1.0001141
1E+12 152830592 12 305689269 3.06E+08 0.9999081

四生素数：
N 分部积分四生实际分部：实际
10 —— 1 1 1 ——
100 —— 2 2 2 ——
1000 —— 3 5 5 ——
10000 —— 4 12 12 ——
100000 —— 5 38 38 ——
1000000 —— 6 166 166 ——
1E+07 1009.68358 7 899 899 1.1231186
1E+08 4754.32787 8 4768 4768 0.9971325
1E+09 28395.0709 9 28388 28388 1.0002491
1E+10 181067.387 10 180529 180529 1.0029823
1E+11 1209946.79 11 1209318 1209318 1.00052
1E+12 8394570.28 12 8398278 8398278 0.9995585

因各种积分法采用的基数不尽相同，最终得到的各生素数数量略有差异。
3表中的“分部积分”数据已乘上了哈李常数。

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 11:54

计算实例——计算跨距36最密11生素数个数：
《K生素数个数公式》贴已经给出
∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2 !) +ln(x)^3/(3*3!) +…，无穷多项

∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) +∫1/ln(x) dx
= -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…

∫1/ln(x)^3 dx = -x/2/ln(x)^2 +1/2*∫1/ln(x)^2 dx
= -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^4 dx = -x/3/ln(x)^3 +1/3*∫1/ln(x)^3 dx
= -x/3/ln(x)^3 +1/3*{ -x/2/ln(x)^2 +1/2*[ -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]}

在未乘各自的哈李常数（Cp）之前都不是各生素数的数量公式。类推一下：
∫1/ln(x)^5 dx = -x/ln(x)^4/4 +[∫1/ln(x)^4 dx]/4；
∫1/ln(x)^6 dx = -x/ln(x)^5/5 +[∫1/ln(x)^5 dx]/5
∫1/ln(x)^7 dx = -x/ln(x)^6/6 +[∫1/ln(x)^6 dx]/6
∫1/ln(x)^8 dx = -x/ln(x)^7/7 +[∫1/ln(x)^7 dx]/7
∫1/ln(x)^9 dx = -x/ln(x)^8/8 +[∫1/ln(x)^8 dx]/8
∫1/ln(x)^10 dx = -x/ln(x)^9/9 +[∫1/ln(x)^9 dx]/9
∫1/ln(x)^11 dx = -x/ln(x)^10/10 +[∫1/ln(x)^10 dx]/10
…………
由∫1/ln(x) dx变到∫1/ln(x)^2 dx仅增加了一项“-x/ln(x)”；
由∫1/ln(x)^2 dx变到∫1/ln(x)^3 dx又增加了一项“-x/ln(x)^2/2”；
由∫1/ln(x)^3 dx变到∫1/ln(x)^4 dx再增加了一项“-x/ln(x)^3/3”；
预测
由∫1/ln(x)^4 dx变到∫1/ln(x)^5 dx再增加了一项“-x/ln(x)^4/4”；
由∫1/ln(x)^5 dx变到∫1/ln(x)^6 dx再增加了一项“-x/ln(x)^5/5”；
由∫1/ln(x)^6 dx变到∫1/ln(x)^7 dx再增加了一项“-x/ln(x)^6/6”；
由∫1/ln(x)^7 dx变到∫1/ln(x)^8 dx再增加了一项“-x/ln(x)^7/7”；
由∫1/ln(x)^8 dx变到∫1/ln(x)^9 dx再增加了一项“-x/ln(x)^8/8”；
由∫1/ln(x)^9 dx变到∫1/ln(x)^10 dx再增加了一项“-x/ln(x)^9/9”；
由∫1/ln(x)^10 dx变到∫1/ln(x)^11 dx再增加了一项“-x/ln(x)^10/10”；
…………

yangchuanju · 发表于 2021-5-29 11:55

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-5-29 11:59 编辑

（接上楼）
计算跨距36的最密11生素数时要用到∫1/ln(x)^11 dx，将上述各式依次展开得：
∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2 !) +ln(x)^3/(3*3!) +…，

∫1/ln(x)^2 dx = -x/ln(x) + ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…

∫1/ln(x)^3 dx = -1/2*x/ln(x)^2 -1/2*x/ln(x) + 1/2*[ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^4 dx = -1/3*x/ln(x)^3 -1/6*x/ln(x)^2 -1/6*x/ln(x) +1/6*[ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^5 dx = -1/4*x/ln(x)^4 -1/12*x/ln(x)^3 -1/24*x/ln(x)^2 -1/24*x/ln(x) +1/24*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^6 dx = -1/5*x/ln(x)^5 -1/20*x/ln(x)^4 -1/60*x/ln(x)^3 -1/120*x/ln(x)^2 -1/120*x/ln(x) +1/120*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^7 dx = -1/6*x/ln(x)^6 -1/30*x/ln(x)^5 -1/120*x/ln(x)^4 -1/360*x/ln(x)^3 -1/720*x/ln(x)^2 -1/720*x/ln(x) +1/720*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^7 dx = -1/6*x/ln(x)^6 -1/30*x/ln(x)^5 -1/120*x/ln(x)^4 -1/360*x/ln(x)^3 -1/720*x/ln(x)^2 -1/720*x/ln(x) +1/720*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^8 dx = -1/7*x/ln(x)^7 -1/42*x/ln(x)^6 -1/210*x/ln(x)^5 -1/840*x/ln(x)^4 -1/2520*x/ln(x)^3 -1/5040*x/ln(x)^2 -1/5040*x/ln(x) +1/5040*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^8 dx = -1/7*x/ln(x)^7 -1/42*x/ln(x)^6 -1/210*x/ln(x)^5 -1/840*x/ln(x)^4 -1/2520*x/ln(x)^3 -1/5040*x/ln(x)^2 -1/5040*x/ln(x) +1/5040*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^9 dx = -1/8*x/ln(x)^8 -1/56*x/ln(x)^7 -1/336*x/ln(x)^6 -1/1680*x/ln(x)^5 -1/6720*x/ln(x)^4 -1/20160*x/ln(x)^3 -1/40320*x/ln(x)^2 -1/40320*x/ln(x) +1/40320*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^10 dx = -1/9*x/ln(x)^9 -1/72*x/ln(x)^8 -1/504*x/ln(x)^7 -1/3024*x/ln(x)^6 -1/15120*x/ln(x)^5 -1/60480*x/ln(x)^4 -1/181440*x/ln(x)^3 -1/362880*x/ln(x)^2 -1/362880*x/ln(x) +1/362880*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]

∫1/ln(x)^11 dx = -1/10*x/ln(x)^10 -1/90*x/ln(x)^9 -1/720*x/ln(x)^8 -1/5040*x/ln(x)^7 -1/30240*x/ln(x)^6 -1/151200*x/ln(x)^5 -1/604800*x/ln(x)^4 -1/1814400*x/ln(x)^3 -1/3628800*x/ln(x)^2 -1/3628800*x/ln(x) +1/3628800*[ ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…]
…………

各项系数的分母：
1——1
2——1,1
3——2,2,2
4——3,6,6,6
5——4,12,24,24,24
6——5,20,60,120,120,120
7——6,30,120,360,720,720,720
8——7,42,210,840,2520,5040,5040,5040
9——8,56,336,1680,6720,20160,40320,40320,40320
10——9,72,504,3024,15120,60480,181440,362880,362880,362880
11——10,90,720,5040,30240,151200,604800,1814400,3628800,3628800,3628800
…………

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