连乘积（1 -1/p）的由来

lusishun

倍数含量筛法，无法推翻，

lusishun

连乘积（1-2/p）的由来，就更为复杂了，没有等差项同数列的性质规律的发现，不知以前的数学家是如何得到的（1-2/p）的连乘积的

lusishun

谁能贡献出，以前的数学家们，是如何得到，连乘积（1-2/p）的，这是关键部位。

数学天皇

数学天皇 发表于 2021-5-30 19:15
我采取了形式与您不一样的连乘积公式,克服了证明障碍.您看明白了吗?

您还没明白"波动"反例!何言克服了证明障碍?

lusishun

68/2（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）=2.5……

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-2 22:42
68/2（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）=2.5……

而68=31+37，
7+61被筛掉了，1小于2.48，
所以68是特例

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-2 23:00
而68=31+37，
7+61被筛掉了，1小于2.48，
所以68是特例

68/2（1-4/7）（1-26/36）（1-2/3）（1-2/5）=0.87……
这是加强筛，有一对，68=31+37

yangchuanju

计算k生素数数量时还经常用到一些连乘积：       
∏p*(p-2)/(p-1)^2，∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，∏p^3*(p-4)/(p-1)^4，……
第1个连乘积表达式用于二生素数的计算，p的下界≥3，上界无穷大（下同，不再标明）；
第2个连乘积表达式用于3生素数的计算，p的下界≥5；
第3个连乘积表达式用于4生素数的计算，p的下界≥5；
第4-5个连乘积表达式用于5-6生素数的计算，p≥7；
第6-9个连乘积表达式用于7-10生素数的计算，p≥11；
第10-11个连乘积表达式用于11-12生素数的计算，p≥13；
第12-15个连乘积表达式用于13-16生素数的计算，p≥17；
第16-17个连乘积表达式用于17-18生素数的计算，p≥19；
…………                               
由于连乘积是无穷多项的，连乘积的数值随着p的增大，逐渐减少，最终趋近于一个常数！（？）
如与孪生素数有关的哈李常数0.660161816…       
经计算当p取到97,997,9973,99991时2-16生的连乘积数值分别是：
生\素数        97        997        9973        99991
2        0.661377085        0.660245744        0.660168297        0.660162345
3        0.638693965        0.635408722        0.635185061        0.635167883
4        0.31093309        0.307729675        0.307512992        0.307496359
5        0.417571399        0.410396823        0.409915128        0.409878173
6        0.191915967        0.186970992        0.186641782        0.186616543
7        0.384273349        0.370426839        0.369513691        0.369443735
8        0.244997193        0.233249871        0.232483241        0.232424556
9        0.128631037        0.120723802        0.120213693        0.120174678
10        0.045530014        0.042044564        0.041822527        0.04180556
11        0.104972474        0.09519622        0.094581897        0.094535
12        0.040155474        0.035692532        0.035416207        0.035395134
13        0.129755537        0.112821423        0.111789507        0.1117109
14        0.074900018        0.063579006        0.062900823        0.062849222
15        0.035838018        0.029638965        0.029274335        0.029246626
16        0.011653475        0.009370668        0.009238984        0.00922899
连乘积究竟要取多少位，或p的上限取到多少，可根据您计算的生数和精度需要而定；
如您已经得到了p取无穷大时的常数值，最好直接取常数值为好！

lusishun

yangchuanju 发表于 2021-6-3 08:53
计算k生素数数量时还经常用到一些连乘积：       
∏p*(p-2)/(p-1)^2，∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，∏p^3*(p-4)/(p-1)^ ...

连乘积，有很多方面的应用，但连乘积的由来，要搞清楚

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-6-3 17:49
连乘积，有很多方面的应用，但连乘积的由来，要搞清楚

K生素数数量计算公式中的∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k 与素数计算公式中的∏（1-1/p）本是同一个（类）公式，
素数公式中的∏（1-1/p）是k生素数公式∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k的一个特例。
令k=1，公式∏p^(k-1)*(p-k)/(p-1)^k  =∏p^0*(p-1)/(p-1)^1  =∏1*1  =1，
实际上连乘积的下界是p≥3，上界无穷大；当p趋近于无穷大时∏（1-1/p）=∏（1-0）=1，两式是一致的。

来历推导：
取正整数n，第一步用2筛选，删掉除2以外的全部偶数，剩余n/2个数，相对于非常大的正整数n来说，素数2暂且忽略不计；
第2步用3筛选，删掉除3以外的全部3的倍数，剩余n/2*(1-1/3)=n/3个数，同样的原因，素数3暂且忽略不计；
第3步用5筛选，删掉除5以外的全部5的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)个数，素数5暂且忽略不计；
第4步用7筛选，删掉除7以外的全部7的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）个数，素数7暂且忽略不计；
…………
第m步用素数p筛选，删掉除p以外的全部p的倍数，剩余n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）*…*(1-1/p)个数，素数p亦忽略不计。
连乘积n/2*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7）*…*(1-1/p)  =n/2*[(3-1)/3]*[(5-1)/5]*[(7-1)/7]*…*[(p-1)/p]  =n/2*∏(p-1)/p  =n/2*∏(1-1/p)。
这不就是∏(1-1/p)的来历吗？连乘号下界p≥3，上界无穷大。
计算小范围内的素数个数时，尚需通过多次取整并单独加上忽略掉的几个素数。

尚若计算哥猜数或孪生素数，用的连乘积公式是∏p*(p-2)/(p-1)^2或其变形公式。