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楼主: FGNBGHJUOI

O 是坐标原点,A,B 是圆 (x-2)^2+(y-2)^2=1 上两点,AB=1,求 OA/OB 的最大、最小值

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发表于 2021-6-13 18:58 | 显示全部楼层

按王守恩老师给出的角度:

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发表于 2021-6-13 22:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-6-13 22:54 编辑

题1:O是坐标原点,A、B是圆(x-2)^2+(y-2)^2=1上两点,AB=1,求OA/OB的最大、最小值。
题2:C的坐标为(-2√2,0),A、B是圆x^2+y^2=1上两点,AB=1,求CA/CB的最值。
思路:第1题可“简化”为第2题,为了方便,以第2题为例思考。
设A(a,b)、B(m,n),则由条件有:
a^2+b^2=m^2+n^2=1,(a-m)^2+(b-n)^2=1或2(am+bn)=1。
由此,有4b^2n^2=4(1-a^2)(1-m^2)=(1-2am)^2,
即(1)4(a^2+m^2)=4am+3。
令x=CA^2=(a+2√2)^2+b^2=9+4√2a,y=CB^2=(m+2√2)^2+n^2=9+4√2m,
则32(a^2+m^2)=(x-9)^2+(y-9)^2,32am=(x-9)(y-9)。
将此代入(1)得[(x-9)^2+(y-9)^2]/8=(x-9)(y-9)/8+3,
即(x-9)^2+(y-9)^2=(x-9)(y-9)+24。令k=x/y,
则(ky-9)^2+(y-9)^2=(ky-9)(y-9)+24,
即(k^2-k+1)y^2-9(k+1)y+57=0。
因y∈R+,故关于y的一元二次方程的判别式非负,
即81(k+1)^2-4x57(k^2-k+1)≥0,解得(65-4√114)/49≤k≤(65+4√114)/49,
即(65-4√114)/49≤x/y≤(65+4√114)/49,
或(65-4√114)/49≤CA^2/CB^2≤(65+4√114)/49。
故(57-2√2)/7≤CA/CB≤(57+2√2)/7。
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 楼主| 发表于 2021-6-14 04:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-15 14:56 编辑
波斯猫猫 发表于 2021-6-13 22:43
题1:O是坐标原点,A、B是圆(x-2)^2+(y-2)^2=1上两点,AB=1,求OA/OB的最大、最小值。
题2:C的坐标为(- ...


谢谢详细的过程和答案了,最值问题能不用求导办法是最好的
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 楼主| 发表于 2021-6-14 04:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-14 04:18 编辑

十分感谢各位大师们对题目的关注关心和详细有耐心的解答,无名小辈非常惊喜和感动
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发表于 2021-6-14 19:58 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-6-14 20:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 FGNBGHJUOI 于 2021-6-20 14:17 编辑


谢谢详细的几何代数式解法和答案了,几何最值问题能不用求导的方法最简单最好了,
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发表于 2021-6-14 23:53 | 显示全部楼层
FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-14 20:09
谢谢详细的几何代数解法和答案了,

阿波罗尼圆系列比赛题吧。
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发表于 2021-6-15 00:02 | 显示全部楼层
楼上 Ysu2008 的解答很好!已收藏。
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发表于 2021-6-19 09:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-6-19 09:37 编辑
xfhaoym 发表于 2021-6-13 18:58
按王守恩老师给出的角度:


  11 楼的图还是画繁了。简单一点:
\(A是三角形BOC(OC=\sqrt{8},BC=1)内的点(AB=AC=1),\)
\(\ \ 当 ∠AOC=∠ABO\ 时,\frac{OA}{OB}取得最大(最小)值。\)
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