O 是坐标原点，A,B 是圆 (x-2)^2+(y-2)^2=1 上两点，AB=1，求 OA／OB 的最大、最小值

xfhaoym

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-13 18:04
谢谢答案了

按王守恩老师给出的角度：

波斯猫猫

题1：O是坐标原点，A、B是圆(x-2)^2+(y-2)^2=1上两点，AB=1，求OA／OB的最大、最小值。
题2：C的坐标为（-2√2，0），A、B是圆x^2+y^2=1上两点，AB=1，求CA／CB的最值。
思路：第1题可“简化”为第2题，为了方便，以第2题为例思考。
设A（a，b）、B（m，n），则由条件有：
a＾2+b^2=m＾2+n^2=1，(a-m)^2+(b-n)^2=1或2（am+bn）=1。
由此，有4b^2n^2=4(1-a＾2)(1-m＾2)=(1-2am)^2,
即（1）4（a＾2+m＾2）=4am+3。
令x=CA＾2=(a+2√2)^2+b^2=9+4√2a，y=CB＾2=(m+2√2)^2+n^2=9+4√2m，
则32（a＾2+m＾2）=（x-9）^2+（y-9）^2，32am=（x-9）（y-9）。
将此代入（1）得[（x-9）^2+（y-9）^2]/8=（x-9）（y-9）/8+3，
即（x-9）^2+（y-9）^2=（x-9）（y-9）+24。令k=x/y，
则（ky-9）^2+（y-9）^2=（ky-9）（y-9）+24，
即（k^2-k+1）y^2-9（k+1）y+57=0。
因y∈R+，故关于y的一元二次方程的判别式非负，
即81（k+1）^2-4x57（k^2-k+1）≥0，解得(65-4√114)/49≤k≤(65+4√114)/49，
即(65-4√114)/49≤x/y≤(65+4√114)/49，
或(65-4√114)/49≤CA＾2/CB＾2≤(65+4√114)/49。
故(57-2√2)/7≤CA/CB≤(57+2√2)/7。

FGNBGHJUOI

波斯猫猫 发表于 2021-6-13 22:43
题1：O是坐标原点，A、B是圆(x-2)^2+(y-2)^2=1上两点，AB=1，求OA／OB的最大、最小值。
题2：C的坐标为（- ...

谢谢详细的过程和答案了，最值问题能不用求导办法是最好的

FGNBGHJUOI

十分感谢各位大师们对题目的关注关心和详细有耐心的解答，无名小辈非常惊喜和感动

Ysu2008

FGNBGHJUOI

Ysu2008 发表于 2021-6-14 19:58

谢谢详细的几何代数式解法和答案了，几何最值问题能不用求导的方法最简单最好了，

Ysu2008

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-14 20:09
谢谢详细的几何代数解法和答案了，

阿波罗尼圆系列比赛题吧。

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答很好！已收藏。

王守恩

xfhaoym 发表于 2021-6-13 18:58
按王守恩老师给出的角度：

  11 楼的图还是画繁了。简单一点：
\(A是三角形BOC(OC=\sqrt{8},BC=1)内的点(AB=AC=1)，\)
\(\ \ 当 ∠AOC=∠ABO\ 时,\frac{OA}{OB}取得最大(最小)值。\)