连乘积（1-2/p）的来历

lusishun

难道，没有深入到这个层次的网友吗？
但作为应用，可是有很多网友啊？不清楚（1-2/p）连乘积的来历，应用，那就是，猜，探索，探索就要把原理搞清楚

lusishun

两个数列，一起筛，老lu是有史以来，第一人吧？

lusishun

我还有（1-3/p）连乘积的应用，（1-4/p）连乘积的应用，回来，专门举例给大家看。

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-20 00:12
我还有（1-3/p）连乘积的应用，（1-4/p）连乘积的应用，回来，专门举例给大家看。

三个数列一起筛，就出现（1-3/p）的连乘积的式子，四个数列一起筛，就出现（1-4/p）连乘积的式子。
我想等等在就倍数含量筛法的广泛应用介绍给大家。

lusishun

有几人理解了（1-2/p）的由来呢？有几人喜欢数学皇冠上的明珠啊？
都是喜欢自己的研究，不喜欢什么明珠

yangchuanju

顶起来！

lusishun

到（1-3/p）连乘积式子的由来，一起看吧

yangchuanju

先转发一下大傻8888888在重生688《随便在N/lnN^2前面加个系数，就说是证明了哥猜》23楼的一个帖子：发表于 2021-3-22 12:01
从筛法的角度看哥猜和孪生素数的关系
      从筛法的角度看哥猜问题和孪生素数问题是“姊妹问题”，往往用同一个方法可以得到两个问题相类似的结果。比如陈景润用筛法证明了每一个充分大的偶数都是一个素数与一个素因数个数不超过2的殆素数之和，同时也证明了存在无穷多个素数p。使p+2为素因数不超过2的殆素数。
     下面我们首先从筛法的角度看看哥猜问题。设一个偶数N是2的n次方，N-1和1，N-2和2，N-3和3......一直到2和N-2,1和N-1,一共有N-1对和的值等于N，因为偶数对肯定不符合哥猜的规定，所以应该去除偶数对。剩下N/2个奇数对，这N/2个奇数对先排除3和3 的倍数，因为N是2的n次方，所以这些奇数对里每三个相邻的奇数对就有两对其中一个的值是3和3 的倍数，因此不会是素数对，。一般情况下N-3不是素数，当然如果N-3是素数，3和N-3是素数对，因为只有一对所以可以忽略不计。这样不是3和3 的倍数的奇数对就等于N/2﹣｜(N/2)/3｜﹣｜(N/2)/3｜，这个值大约等于(N/2)(1-2/3)，也就是说大约有(N/2)(1-2/3)奇数对既不是2的倍数也不是3的倍数。以此类推再排除5和5 的倍数，排除7和7的倍数.......一直到排除小于等于根号N的素数p和p的倍数。那么(N/2)(1-2/3)......(1-2/p)=(N/2)Π(1-2/p)其中√N＞p≧3就表示N里面大约素数对的个数。当N的值在4万以下，这个公式比较符合实际值，当N逐渐增加，这个公式的计算值与实际值之比也逐渐增加，当N趋近无限大时这个公式的计算值与实际值之比趋近它的极值1.261附近。如果偶数N是3的倍数，则奇数对里每三个相邻的奇数对就只有一对是3和3 的倍数。这时这个偶数的素数对是附近不是3 的倍数的偶数的素数对的两倍。这也就是p｜N时，公式前面乘以(p-1)/(p-2)的原因。
      接着我们再从筛法的角度看看孪生素数问题，孪生素数是说两个素数之差等于2，它们中间是一个偶数，这三个数因为有两个素数，所以中间这个偶数一定是3的倍数，这样孪生素数中间是偶数就是6的倍数。所以求N以内有多少个孪生素数应该除以6，得到N/6个两边可能是孪生素数的偶数。我们来看看如果有5个这样相邻的偶数的情况，小于这些偶数前面的奇数必有一个是5的倍数，那么这个偶数前后的两个奇数就不会是孪生素数。同样大于这些偶数后面的奇数必有一个也是5的倍数，因为偶数和前后两个奇数加起来只有三个数，所以只有一个奇数可能是5的倍数。因此5个这样相邻的偶数有两个前后奇数因为是5 的倍数不可能是孪生素数，也就是说5个这样相邻的偶数有5（1-2/5）个前后奇数有可能是孪生素数。以此类推7个这样相邻的偶数有7（1-2/7）个前后奇数有可能是孪生素数.......一直到小于等于根号N的素数p个这样相邻的偶数有p（1-2/p）个前后奇数有可能是孪生素数。这样得出N以内的孪生素数的个数是（N/6）（1-2/5）（1-2/7）......（1-2/p）=(N/2)Π(1-2/p)其中√N≧p≧3。和前面的偶数N是2的n次方里面大约素数对的个数公式是一样的。当然用这个连乘积得出的孪生素数的个数也随着N逐渐增加，这个公式的计算值与实际值之比也逐渐增加，当N趋近无限大时这个公式的计算值与实际值之比也趋近它的极值1.261附近。

yangchuanju

（接上楼）
我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2      其中∏[(p-1)/(p-2)]中的p|N，√N≥p＞2   c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146（可改为精度更高的0.561459483567）
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)        其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)≈0.890536208995才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2≈0.793054739531才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)*(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]=2Π1/2(1-1/p)1/2(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N，
所以
r(N)～( N/2)∏(1-2/p)/[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2    其中(1-2/p)里的2＜p≤√N    (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明

附注：1、大傻先生原23楼贴有个别文字错误，已按大傻在26楼的改正贴做了改正；2、文中增加了两个系数1/2e^(-γ)和[1/2e^(-γ)]^2的12位有效数字。

yangchuanju

大傻老师：
未经您的许可，将您的一个博贴转帖到这来，帖子中的推导好证明如有不完善或不完美之处，敬请修改！