对n至2n间素数个数大约等于n以内素数个数的思考

yangchuanju · 发表于 2021-6-26 05:01

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-26 05:06 编辑

本贴主楼的命题由我于6月22日在njzz_yy先生的《哥数与孪数之比，谁提供的孪生素数个数？》博贴97楼的一贴引发，现将原贴转帖于此：

n内素数个数（按素数定理计算，略小于真实值）
      n/ln(n)
2n内素数个数
      2n/ln(2n)=2n/[ln(n)+ln(2)]
n至2n间素数个数
      2n/[ln{n)+ln(2)]-2/ln(n)=[2n*ln(n)-n*ln(n)+n*ln(2)]/[ln(n)^2+ln(2)*ln(n)]=n*[ln(n)-ln(2)]/[ln(n)^2+ln(2)*ln(n)]

n-2n间的素数个数与n内素数个数之比表：
整数n       n内素数       2n内素数       n-2n       (n-2n)/n
10       4.342944819       6.676164014       2.333219195       0.5372
100       21.7147241       37.74783316       16.03310907       0.7384
1000       144.7648273       263.1266498       118.3618225       0.8176
10000       1085.736205       2019.490598       933.7543933       0.8600
100000       8685.889638       16385.28672       7699.39708       0.8864
1000000       72382.41365       137848.727       65466.31337       0.9045
10000000       620420.6884       1189680.037       569259.3489       0.9175
100000000       5428681.024       10463628.78       5034947.758       0.9275
1000000000       48254942.43       93386320.03       45131377.6       0.9353
10000000000       434294481.9       843205935.9       408911454       0.9416
1E+11       3948131654       7685927426       3737795772       0.9467
1E+12       36191206825       70611075992       34419869167       0.9511
1E+13       3.34073E+11       6.53024E+11       3.18951E+11       0.9547
1E+14       3.1021E+12       6.07361E+12       2.97151E+12       0.9579
1E+15       2.8953E+13       5.67667E+13       2.78137E+13       0.9607
1E+16       2.71434E+14       5.32843E+14       2.61409E+14       0.9631
1E+17       2.55467E+15       5.02045E+15       2.46577E+15       0.9652
1E+18       2.41275E+16       4.74612E+16       2.33337E+16       0.9671
1E+19       2.28576E+17       4.50022E+17       2.21446E+17       0.9688
1E+20       2.17147E+18       4.27855E+18       2.10707E+18       0.9703
1E+30       1.44765E+28       2.86653E+28       1.41888E+28       0.9801
1E+40       1.08574E+38       2.15525E+38       1.06952E+38       0.9851
1E+50       8.68589E+47       1.72678E+48       8.58193E+47       0.9880
1E+60       7.23824E+57       1.44042E+58       7.16597E+57       0.9900
1E+70       6.20421E+67       1.23553E+68       6.15107E+67       0.9914
1E+80       5.42868E+77       1.08167E+78       5.38798E+77       0.9925
1E+90       4.82549E+87       9.61882E+87       4.79332E+87       0.9933
1E+100       4.34294E+97       8.65982E+97       4.31688E+97       0.9940
1E+200       2.1715E+197       4.3364E+197       2.1649E+197       0.9970
1E+300       1.4476E+297       2.8924E+297       1.4447E+297       0.9980

整数n       9n内素数       10n内素数       9-10n       (9-10)n/n
10       20.00084595       21.7147241       1.71387815       0.3946
100       132.3063467       144.7648273       12.45848059       0.5737
1000       988.4700617       1085.736205       97.2661431       0.6719
10000       7889.501432       8685.889638       796.3882063       0.7335
100000       65644.79581       72382.41365       6737.617844       0.7757
1000000       562052.6365       620420.6884       58368.05196       0.8064
10000000       4913918.997       5428681.024       514762.0271       0.8297
100000000       43651379.03       48254942.43       4603563.403       0.8480
1000000000       392661755.4       434294481.9       41632726.53       0.8628
10000000000       3568161225       3948131654       379970428.7       0.8749
1E+11       32696762961       36191206825       3494443864       0.8851
1E+12       3.01727E+11       3.34073E+11       32345245519       0.8937
1E+13       2.80105E+12       3.1021E+12       3.01055E+11       0.9012
1E+14       2.61374E+13       2.8953E+13       2.81556E+12       0.9076
1E+15       2.44991E+14       2.71434E+14       2.64428E+13       0.9133
1E+16       2.30541E+15       2.55467E+15       2.49262E+14       0.9183
1E+17       2.17701E+16       2.41275E+16       2.35741E+15       0.9228
1E+18       2.06215E+17       2.28576E+17       2.2361E+16       0.9268
1E+19       1.95881E+18       2.17147E+18       2.12666E+17       0.9304
1E+20       1.86533E+19       2.06807E+19       2.02742E+18       0.9337
1E+30       1.26272E+29       1.40095E+29       1.38231E+28       0.9549
1E+40       9.54394E+38       1.05925E+39       1.0486E+38       0.9658
1E+50       7.6709E+48       8.51558E+48       8.44675E+47       0.9725
1E+60       6.41243E+58       7.11958E+58       7.07148E+57       0.9770
1E+70       5.50869E+68       6.11682E+68       6.08132E+67       0.9802
1E+80       4.82822E+78       5.36166E+78       5.33439E+77       0.9826
1E+90       4.29738E+88       4.77247E+88       4.75086E+87       0.9845
1E+100       3.8717E+98       4.29995E+98       4.2824E+97       0.9861
1E+200       1.945E+198       2.1607E+198       2.1562E+197       0.9930
1E+300       1.2988E+298       1.4428E+298       1.4409E+297       0.9953

大家都知道，随着整数n的增大，n内素数个数越来越少，
然而这里却出现了随着整数n的增大，n—2n间的素数个数与n内素数个数的比将趋近于1，
换言之，随着整数n的增大，最终n—2n间的素数个数与n内素数个数是一样多的；
特别地，9n—10n、99n—100n、999n—1000n、9999n—10000n……间的素数个数与n内素数个数也是一样多的！

yangchuanju · 发表于 2021-6-26 05:02

横看此贴，将n，n-2n，9n-10n内素数个数数据进行对比，是逐渐减少的；随着正整数n的不断增大，相同区间内的素数个数越来越少；这已是大家熟知的常识。
然而纵看此贴，（n--2n）与n内素数个数之比、（9n--10n）与n内素数个数之比都越来越大，当n继续增大并趋近于无穷多大，各个比值都将趋近于1；
由此笔者提出来上述疑问。

对于此问题，可以这样理解：
当n较小时，两比值都是小于1的，它表明随着正整数n的增大，相同区间内的素数个数越来越少；但各个区间的素数个数绝对数都是较多的；
当n较大时，两比值都是趋近于1，然而如果将相关区间的素数个数同时除以区间数，变成各个区间的素数分率（或称几率，密度），
则由上到下的素数分率都是逐渐减少的，随着n的增大并趋近于无穷多，素数分率都将逐渐趋近于0；
当n无穷多时，（n--2n）与n内素数个数相等、（9n--10n）与n内素数个数相等都是非常稀少之下的相等。

yangchuanju · 发表于 2021-6-26 05:03

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-26 05:08 编辑

n-2n间的素数分率与n内素数分率之比表：
整数n n内分率 2n内分率 n-2n间分率 (n-2n)/n
10 0.434294 0.333808 0.233322 0.537244
100 0.217147 0.188739 0.160331 0.738352
1000 0.144765 0.131563 0.118362 0.817615
10000 0.108574 0.100975 0.093375 0.860020
100000 0.086859 0.081926 0.076994 0.886426
1000000 0.072382 0.068924 0.065466 0.904451
10000000 0.062042 0.059484 0.056926 0.917538
100000000 0.054287 0.052318 0.050349 0.927472
1000000000 0.048255 0.046693 0.045131 0.935270
10000000000 0.043429 0.042160 0.040891 0.941553
1E+11 0.039481 0.038430 0.037378 0.946725
1E+12 0.036191 0.035306 0.034420 0.951056
1E+13 0.033407 0.032651 0.031895 0.954736
1E+14 0.031021 0.030368 0.029715 0.957901
1E+15 0.028953 0.028383 0.027814 0.960652
1E+16 0.027143 0.026642 0.026141 0.963066
1E+17 0.025547 0.025102 0.024658 0.965201
1E+18 0.024127 0.023731 0.023334 0.967102
1E+19 0.022858 0.022501 0.022145 0.968807
1E+20 0.021715 0.021393 0.021071 0.970343
1E+30 0.014476 0.014333 0.014189 0.980131
1E+40 0.010857 0.010776 0.010695 0.985061
1E+50 0.008686 0.008634 0.008582 0.988031
1E+60 0.007238 0.007202 0.007166 0.990016
1E+70 0.006204 0.006178 0.006151 0.991436
1E+80 0.005429 0.005408 0.005388 0.992502
1E+90 0.004825 0.004809 0.004793 0.993333
1E+100 0.004343 0.004330 0.004317 0.993997
1E+200 0.002171 0.002168 0.002165 0.996994
1E+300 0.001448 0.001446 0.001445 0.997995

整数n 9n内分率 10n内分率 9-10n间分率 (9-10)n/n
10 0.222232 0.217147 0.171388 0.394635
100 0.147007 0.144765 0.124585 0.573734
1000 0.109830 0.108574 0.097266 0.671891
10000 0.087661 0.086859 0.079639 0.733501
100000 0.072939 0.072382 0.067376 0.775697
1000000 0.062450 0.062042 0.058368 0.806384
10000000 0.054599 0.054287 0.051476 0.829698
100000000 0.048502 0.048255 0.046036 0.848008
1000000000 0.043629 0.043429 0.041633 0.862766
10000000000 0.039646 0.039481 0.037997 0.874914
1E+11 0.036330 0.036191 0.034944 0.885088
1E+12 0.033525 0.033407 0.032345 0.893732
1E+13 0.031123 0.031021 0.030106 0.901167
1E+14 0.029042 0.028953 0.028156 0.907631
1E+15 0.027221 0.027143 0.026443 0.913301
1E+16 0.025616 0.025547 0.024926 0.918315
1E+17 0.024189 0.024127 0.023574 0.922782
1E+18 0.022913 0.022858 0.022361 0.926785
1E+19 0.021765 0.021715 0.021267 0.930394
1E+20 0.020726 0.020681 0.020274 0.933664
1E+30 0.014030 0.014009 0.013823 0.954867
1E+40 0.010604 0.010593 0.010486 0.965799
1E+50 0.008523 0.008516 0.008447 0.972469
1E+60 0.007125 0.007120 0.007071 0.976961
1E+70 0.006121 0.006117 0.006081 0.980193
1E+80 0.005365 0.005362 0.005334 0.982630
1E+90 0.004775 0.004772 0.004751 0.984533
1E+100 0.004302 0.004300 0.004282 0.986060
1E+200 0.002161 0.002161 0.002156 0.992986
1E+300 0.001443 0.001443 0.001441 0.995314

在10^8（亿级）时，百万内n、n--2n、9n--10n内分别有54287、50349、46036个素数；
而在10^300时，百万内n、n--2n、9n--10n内分别有1448、1445、1441个素数；仅相差个位数，几乎相等；
当n继续增大并趋近于无穷多时，百万内n、n--2n、9n--10n内的素数个数都将趋近于0，甚至某些区间内的素数个数真正地变成0（素数间隙超过1百万时）。

yangchuanju · 发表于 2021-6-26 05:04

蔡家雄发表于 2021-6-25 22:33
简单明了，

在 1 至 n 内的素数个数，无数次大于在 n 至 2n 内的素数个数，

蔡家雄10楼贴与上述各贴不是同一个问题，蔡家雄老师贴的含义是：
各个相同样本区间的个数并不是一路减少的，而是波动式的减少的；
某些区间的素数个数可能真正的相等，甚至后区间的素数个数多于前区间的素数个数。

yangchuanju · 发表于 2021-6-26 06:45

在10^10以内，有5461个百万之中素数相等的区间，内还有不少的3个百万区间，甚至更多百万区间的素数个数都相等的，
例第9412,9831,9976个百万区间内都有43334个素数；第9211,9259,9454,9607,9680,9827个百万区间都有43405个素数。
现仅取前101个百万内素数个数较少的区间粘贴于此：
百万序号百万内素数百万序号百万内素数
9846 43250 9694 43250
9723 43257 9663 43257
9949 43267 9185 43267
9923 43276 9518 43276
9912 43317 9904 43317
9914 43319 9754 43319
9831 43334 9412 43334
9976 43334 9831 43334
9888 43337 9730 43337
9864 43339 9328 43339
9964 43341 9190 43341
9944 43345 9631 43345
9810 43346 9548 43346
9778 43348 9427 43348
9750 43350 9146 43350
9910 43350 9750 43350
9969 43350 9910 43350
9895 43351 9524 43351
9031 43352 9000 43352
9740 43360 9555 43360
9842 43361 9820 43361
9869 43365 9850 43365
9780 43366 8951 43366
9880 43367 9870 43367
9900 43367 9880 43367
9791 43370 9647 43370
9843 43370 9791 43370
9954 43370 9843 43370
9477 43374 9320 43374
9779 43374 9477 43374
9499 43375 9149 43375
9960 43376 9745 43376
9776 43377 9503 43377
9726 43378 9198 43378
9824 43378 9726 43378
9848 43378 9824 43378
9469 43379 9365 43379
9500 43379 9469 43379
9577 43379 9500 43379
9430 43380 9298 43380
9614 43380 9430 43380
9760 43380 9614 43380
9830 43380 9760 43380
9963 43380 9830 43380
9580 43383 9366 43383
9875 43383 9580 43383
9854 43384 9400 43384
9985 43384 9854 43384
9644 43387 9612 43387
9704 43387 9644 43387
9510 43388 9309 43388
9735 43388 9510 43388
9997 43389 9130 43389
9893 43392 9125 43392
9762 43393 9172 43393
9851 43393 9762 43393
9887 43393 9851 43393
9946 43393 9887 43393
9638 43394 9538 43394
9724 43394 9638 43394
9884 43395 9716 43395
9474 43396 9280 43396
9857 43396 9474 43396
9578 43397 9549 43397
9453 43398 9104 43398
9473 43398 9453 43398
9734 43398 9473 43398
9897 43398 9734 43398
9959 43398 9897 43398
9815 43399 9684 43399
9832 43400 9649 43400
9942 43400 9832 43400
9633 43401 9215 43401
9569 43402 9355 43402
9839 43402 9569 43402
9053 43403 8922 43403
9073 43403 9053 43403
9124 43403 9073 43403
9186 43403 9124 43403
9259 43405 9211 43405
9454 43405 9259 43405
9607 43405 9454 43405
9680 43405 9607 43405
9827 43405 9680 43405
9334 43407 9304 43407
9337 43407 9334 43407
9992 43410 8444 43410
9572 43411 9506 43411
9800 43411 9572 43411
9940 43411 9800 43411
9672 43413 9556 43413
9821 43413 9672 43413
9822 43413 9821 43413
9936 43413 9822 43413
9975 43413 9936 43413
9451 43414 9313 43414
9646 43414 9451 43414
9765 43414 9646 43414
9767 43415 9747 43415
9891 43416 9536 43416
9935 43416 9891 43416

兼听明偏听暗 · 发表于 2021-6-27 10:07

勃兰特.切比雪夫定理很明确，而谈论“1 至 n 内的素数个数， n 至 2n 内的素数个数”的网友，没有一个有明确的结论，直觉告诉我，没多大意思。应用勃兰特.切比雪夫定理在我的证明中，直觉也告诉我，我的证明是对的。

大傻8888888 · 发表于 2021-6-27 21:38

兼听明偏听暗发表于 2021-6-27 10:07
勃兰特.切比雪夫定理很明确，而谈论“1 至 n 内的素数个数， n 至 2n 内的素数个数”的网友，没有一个有明 ...

勃兰特.切比雪夫定理很明确“在n 至 2n之间必有一个素数”，这个定理很弱，既不能判断这个素数的确定值，也得不出在n 至 2n之间有多少个素数。想靠勃兰特.切比雪夫定理证明哥猜的可能性几乎为零，正如想用张益唐在孪生素数的研究证明孪生素数猜想一样。直觉告诉我哥猜一定成立，但是这没有用，是谁也不会认可的。

兼听明偏听暗 · 发表于 2021-6-28 18:12

哈哈，哥猜中的两个素数，一个靠假设，另一个靠推理，筛法做不到，勃兰特.切比雪夫定理做到了呀。

这个定理很弱，既不能判断这个素数的确定值，也得不出在n 至 2n之间有多少个素数
==================================
说明你考虑的太多了

哥猜证明：从素数（自然数）3开始，到假设的素数（某自然数）P成立，再到下一个素数（自然数）P1也成立，这样就完成了数学归纳法的完整套路。没人认可，原因我感觉：看不懂耶。

天山草 · 发表于 2021-6-28 19:11

本帖最后由天山草于 2021-6-28 19:15 编辑

当 n 趋于无穷大时， n 以内的素数个数等于 n 至 2 n 间的素数个数。

证明如下：

今天突然想起来了几年前曾经更改过的天山草的登录密码。因此以后将不再使用天山草@ 这个马甲。

蔡家雄 · 发表于 2021-6-28 20:24

本帖最后由蔡家雄于 2021-6-28 20:43 编辑

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

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对n至2n间素数个数大约等于n以内素数个数的思考

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