关于曲线切线定义的问题

永远

陆老师好，当B点逼近到A点时即为切点时，请问2楼的AB两点永不重合，距离为无穷小？？？

luyuanhong

xfhaoym 发表于 2021-7-2 17:08
不是说由极限的定义解决了这个问题了吗？

在标准的微积分中，用 ε-δ 或 ε-N 语言，给出了极限的严格定义，所以，可以说已经解决了这个问题。

但是，这种做法，回避了“在式子  lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]／Δx 中， Δx  是否等于 0 ？”的问题，

所以，总是会有一些人，对此感到不太满意。

luyuanhong

永远 发表于 2021-7-3 00:05
陆老师好，当B点逼近到A点时即为切点时，请问2楼的AB两点永不重合，距离为无穷小？？？

从“非标准分析”的观点看来，可以这样说。

elim

luyuanhong 发表于 2021-7-2 09:09
在标准的微积分中，用 ε-δ 或 ε-N 语言，给出了极限的严格定义，所以，可以说已经解决了这个问题。
...

根据极限定义，\(\lim_{n\to\infty} (1/n)=0\) 也不设及 n 等于几时 1/n = 0 这种问题。

同样道理，\(\lim_{\Delta x\to 0} f(x_0+\Delta x)\) 与 \(\Delta x=0\) 与否没有关系。

这种困扰基本上是因为人们还在使用第二次数学危机时的模糊而'直观'的极限观念。

超实数系是标准实数系的扩充。这个扩充使得无穷小成为数，某些极限运算可以被代数运算取代。代价是使得整个数系丧失可标识性即阿基米德性。超实数系(非标准分析)的构造要用到一些非常新的数理逻辑的概念和技巧。这些东西的不直观性远远超过标准分析。简单说来, 现代的数系以给出数系公理的方式提出，通过具体的集合构建和映射等给出满足这组公理的结构实例以完成这个数系的存在性证明。标准实数系是通过 有理数系 + 戴德金分割/康拓基本列 这条路子构造的。非标准分析是通过 标准实数系+超滤构造 得到的。超滤概念对抱怨标准分析太复杂的朋友来说是不可理喻地晦涩繁杂。所以理论数学有其不可约简的复杂性。

永远

luyuanhong 发表于 2021-7-3 00:09
在标准的微积分中，用 ε-δ 或 ε-N 语言，给出了极限的严格定义，所以，可以说已经解决了这个问题。
...

既然回避，说明按照这种思想走还是矛盾，既然矛盾为啥不解决？后来数学家是怎么巧妙解决这个细节问题的，可否指导？越详细越好！！！

elim

永远 发表于 2021-7-2 16:59
既然回避，说明按照这种思想走还是矛盾，既然矛盾为啥不解决？后来数学家是怎么巧妙解决这个细节问题的， ...

问题在标准分析下成了伪问题，就不是回避。
越详细越好？ 标准分析理论你已经受不了，非标准分析的理论要是详细起来你还能过日子？

永远

luyuanhong 发表于 2021-7-3 00:13
从“非标准分析”的观点看来，可以这样说。

陆教授好，请教15楼

simpley

ΔX代表的是一个无穷的趋于0的数列，而不是一个数。

永远

求助于陆教授，老师好