将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法?

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-7-10 19:51
题  将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

解  因为对 ...

问题：将 1,2,…,n 排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被 n+1 整除，
有几种不同的圆排列?不妨把两个反向合同的圆排列视为相同。

将1,2,3,4排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被5整除，有1种不同的圆排列。
1243
将1,2,...5排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被6整除，有4种不同的圆排列。
12354
12534
12543
13254
将1,2,...6排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被7整除，有16种不同的圆排列。
123564
123645
123654
124563
124635
124653
126354
126453
132465
132645
132654
135624
136245
142365
142635
146235
将1,2,...7排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被8整除，有120种不同的圆排列。
将1,2,...8排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被9整除，有744种不同的圆排列。

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-25 10:00
问题：将 1,2,…,n 排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被 n+1 整除，
有几种不同的圆排列?不妨把两 ...

将 1,2,…,n 排成一个圆圈，任意相邻两数之和都不能被 n+1 整除，有几种不同的圆排列?不妨把两个反向合同的圆排列视为相同。

《数学研发论坛》网友给出如下解答。谢谢 sheng_jianguo! 谢谢 hujunhua！

\(\displaystyle T_{n}=\sum_{k=0}^{n/2}\ \frac{(n-k-1)!\ \lfloor n/2\rfloor!\ 2^{k-1}}{k!\ \lfloor n/2-k\rfloor!\ \cos(k\pi)}\ \ \ \ \  n=4,5,6,7,8,9,...\)

{1, 4, 16, 120, 744, 6912, 56256, 631680, 6385920, 84211200, 1018114560, 15432560640,
217234805760, 3722677862400, 59809766768640, 1143584003358720, 20651520261980160}