是否有整数 M,N 使得对任何整数 a,b 都有 aM≡b(mod N) ，bM≡a(mod N) ？

dxkrs

lihp2020 发表于 2021-8-11 17:20
意思 a b是确定的值   只是你为了说明问题 用了 ab 代替 原题可能是

4M%N=5 5M%N =4  求一个 M N 或者MN ...

题意或者这么说：找出一组（或多组）的M和N，代入任意正整数a，a<N，使原题的式子成立

dxkrs

simpley 发表于 2021-8-11 20:10
m=b(a的逆)=a(b的逆)(mod n)
m的平方=b(a的逆)*a(b的逆)=1(mod n)
这就是m,n的关系

想知道“b(a的逆)”大致是什么意思？（矩阵？）
第二行的式子表达的是：M的平方，与“b(a的逆)*a(b的逆)”，与1，是模M的同余？
（另外我后面又补充了题意解释了）

小fisher

M=a+b-1
N=a+b就可以

小fisher

小fisher 发表于 2021-8-12 11:14
M=a+b-1
N=a+b就可以

进一步推论，N=a+b，M=kN-1，也都可以，验证如下：
aM/N=a(k(a+b)-1)/(a+b)
=ak-a/(a+b)
=ak-1+b/(a+b)
=ak-1+b/N
同理，bM/N=bk-1+a/N

dxkrs

小fisher 发表于 2021-8-12 11:29
进一步推论，N=a+b，M=kN-1，也都可以，验证如下：
aM/N=a(k(a+b)-1)/(a+b)
=ak-a/(a+b)

那试试看：k=2，N=66，那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78
78 * 66 % 131 = 39
不成立

小fisher

dxkrs 发表于 2021-8-12 12:02
那试试看：k=2，N=66，那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78

题目不是根据两个确定的整数a,b求符合条件的M，N吗?
比如a=25, b=78，则N=25+78=103, M=102，有mod(25*102, 103)=78，mod(78*102,103)=25。

对任何整数a,b都有aM≡b(mod N) ，bM≡a(mod N)的M,N明显是不存在的，因为对于确定的M、N和a，都只有唯一的b值

小fisher

aM≡b(mod N) ，bM≡a(mod N)……①
aM≡c(mod N) ，cM≡a (mod N)……②
若b≠c，很明显①和②不可能同时成立嘛。

dxkrs

小fisher 发表于 2021-8-12 13:18
题目不是根据两个确定的整数a,b求符合条件的M，N吗?
比如a=25, b=78，则N=25+78=103, M=102，有mod(25 ...

可能我在帖子中，对题意表达不够完善了，我在其他楼层补充了题目的原意。原意是想找到一个正整数M，N，使得任意正整数a（a<N），可以得到一个b，然后b又可以根据题目，还原到a

fungarwai

dxkrs 发表于 2021-8-12 12:02
那试试看：k=2，N=66，那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78

你把M,N的位置弄反了，再看一次
(axM)%N=b
(bxM)%N=a
a=25, N=66, M=131的話應該是
25 * 131 % 66 = 41
41 * 131 % 66 = 25
寫成同餘式會是
\(25\times 131\equiv 41\pmod{66}\)
\(41\times 131\equiv 25\pmod{66}\)

simpley

dxkrs 发表于 2021-8-12 09:20
可能我在帖子中，对题意表达不够完善了，我在其他楼层补充了题目的原意。原意是想找到一个正整数M，N，使 ...

你的意思就是解方程mx=b(mod n),根本不用找M，N的关系，直接解方程就行。
M，N的关系就是，m^2-1能被n整除。