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楼主: dxkrs

是否有整数 M,N 使得对任何整数 a,b 都有 aM≡b(mod N) ,bM≡a(mod N) ?

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 楼主| 发表于 2021-8-12 10:33 | 显示全部楼层
lihp2020 发表于 2021-8-11 17:20
意思 a b是确定的值   只是你为了说明问题 用了 ab 代替 原题可能是

4M%N=5 5M%N =4  求一个 M N 或者MN ...

题意或者这么说:找出一组(或多组)的M和N,代入任意正整数a,a<N,使原题的式子成立
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 楼主| 发表于 2021-8-12 10:41 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2021-8-11 20:10
m=b(a的逆)=a(b的逆)(mod n)
m的平方=b(a的逆)*a(b的逆)=1(mod n)
这就是m,n的关系

想知道“b(a的逆)”大致是什么意思?(矩阵?)
第二行的式子表达的是:M的平方,与“b(a的逆)*a(b的逆)”,与1,是模M的同余?
(另外我后面又补充了题意解释了)
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发表于 2021-8-12 11:14 | 显示全部楼层
M=a+b-1
N=a+b就可以
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发表于 2021-8-12 11:29 | 显示全部楼层

进一步推论,N=a+b,M=kN-1,也都可以,验证如下:
aM/N=a(k(a+b)-1)/(a+b)
=ak-a/(a+b)
=ak-1+b/(a+b)
=ak-1+b/N
同理,bM/N=bk-1+a/N
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 楼主| 发表于 2021-8-12 12:02 | 显示全部楼层
小fisher 发表于 2021-8-12 11:29
进一步推论,N=a+b,M=kN-1,也都可以,验证如下:
aM/N=a(k(a+b)-1)/(a+b)
=ak-a/(a+b)

那试试看:k=2,N=66,那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78
78 * 66 % 131 = 39
不成立
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发表于 2021-8-12 13:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 小fisher 于 2021-8-12 13:24 编辑
dxkrs 发表于 2021-8-12 12:02
那试试看:k=2,N=66,那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78


题目不是根据两个确定的整数a,b求符合条件的M,N吗?
比如a=25, b=78,则N=25+78=103, M=102,有mod(25*102, 103)=78,mod(78*102,103)=25。

对任何整数a,b都有aM≡b(mod N) ,bM≡a(mod N)的M,N明显是不存在的,因为对于确定的M、N和a,都只有唯一的b值
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发表于 2021-8-12 13:22 | 显示全部楼层
aM≡b(mod N) ,bM≡a(mod N)……①
aM≡c(mod N) ,cM≡a (mod N)……②
若b≠c,很明显①和②不可能同时成立嘛。
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 楼主| 发表于 2021-8-12 17:20 | 显示全部楼层
小fisher 发表于 2021-8-12 13:18
题目不是根据两个确定的整数a,b求符合条件的M,N吗?
比如a=25, b=78,则N=25+78=103, M=102,有mod(25 ...

可能我在帖子中,对题意表达不够完善了,我在其他楼层补充了题目的原意。原意是想找到一个正整数M,N,使得任意正整数a(a<N),可以得到一个b,然后b又可以根据题目,还原到a
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发表于 2021-8-12 22:24 | 显示全部楼层
dxkrs 发表于 2021-8-12 12:02
那试试看:k=2,N=66,那么M=kN-1=131
a=25
25 * 66 % 131 = 78

你把M,N的位置弄反了,再看一次
(axM)%N=b
(bxM)%N=a
a=25, N=66, M=131的話應該是
25 * 131 % 66 = 41
41 * 131 % 66 = 25
寫成同餘式會是
\(25\times 131\equiv 41\pmod{66}\)
\(41\times 131\equiv 25\pmod{66}\)
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发表于 2021-8-13 01:04 | 显示全部楼层
dxkrs 发表于 2021-8-12 09:20
可能我在帖子中,对题意表达不够完善了,我在其他楼层补充了题目的原意。原意是想找到一个正整数M,N,使 ...

你的意思就是解方程mx=b(mod n),根本不用找M,N的关系,直接解方程就行。
M,N的关系就是,m^2-1能被n整除。
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