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楼主: 曹子昂

证明:(1+1/x)^x 是 x 的递增函数

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发表于 2021-8-16 12:32 | 显示全部楼层

上述证明过程修改一下,利用反证法。哪里存在矛盾,望指正。
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发表于 2021-8-16 12:33 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2021-8-16 09:25
ln x的导数是1/x,这已用到了结果,形成循环证明

上述证明过程修改一下,利用反证法。哪里存在循环论证,望指正。
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 楼主| 发表于 2021-8-16 12:51 | 显示全部楼层
利用反证法应该就可以了👍👍👍
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发表于 2021-8-16 13:51 | 显示全部楼层
liangchuxu 发表于 2021-8-16 04:33
上述证明过程修改一下,利用反证法。哪里存在循环论证,望指正。

你只要对ln x形式的函数求导,就形成循环证明。你可以看一下ln x的导数是怎么求的
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发表于 2021-8-16 15:50 | 显示全部楼层
lim (ln(x+Δx)-ln x)/Δx=lim (1/Δx)ln((x+Δx)/x)=lim ln(1+Δx/x)^(1/Δx)
=lim ln(1+Δx/x)^(x/Δx)(1/x)
因为(1+Δx/x)^(x/Δx)=e
上式=1/x
所以,凡是ln x 形式的导数推理过程已用到(1+1/x)^x=e
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发表于 2021-8-16 15:55 | 显示全部楼层
simpley 发表于 2021-8-16 15:50
lim (ln(x+Δx)-ln x)/Δx=lim (1/Δx)ln((x+Δx)/x)=lim ln(1+Δx/x)^(1/Δx)
=lim ln(1+Δx/x)^(x/Δx)( ...

有点不理解。

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发表于 2021-8-16 15:57 | 显示全部楼层
首先要证明(1+1/x)单调递增,再证它有上界,从而证得它有极限e,才能证明lnx的导数。所以,在证明1+1/x)单调递增时不能用ln x形式的导数。
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发表于 2021-8-16 16:27 | 显示全部楼层
二阶导数>0,原函数就是增函数。
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