从 A,B,C 三种水果中取 7 个排成一列，不能有连续三个 B 或连续两个 C ，有几种排法？

lihp2020

查看近似值

只有一个>1  还有两个带虚数的 求N次方在求和 也一定是越来越小   所以近似值
应该是f（n） =2.629658126754535^N  *k 带入前几个值 求k  大概就能求出近似值的 通项公式

lihp2020

结论 有些东西 递推公式很简单 但是通项公式 很复杂  没必要去求通项公式 就简单的斐波拉契数列
递推公式 f(n)=f(n-1)+f(n-2)  通项公式 就是就有
\(({({{\sqrt{5}+1}\over{2}})^n -({{\sqrt{5}-1}\over{2}})^n}) / \sqrt{5}\)
其实起来也相对复杂

FGNBGHJUOI

论坛里有好多的妙题好题，很有收藏价值

cgl_74

用递归方法进行计数是很有用的方法。而且我发现用递归方程组的形式化方法，可以替代一些复杂逻辑，解出复杂的递归。我尝试用自己的方法，把递归式推导出来。供交流讨论。

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答很好！已收藏。

fungarwai

試吓搞埋不能連續B個个或連續C個

\(s_n=a_n+b_n+c_n\)
\(a_n=s_{n-1}\)
\(\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^{B-1} (s_{n-k}-b_{n-k})\)
\(\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^{C-1} (s_{n-k}-c_{n-k})\)

\(\displaystyle b_{n-1}=\sum_{k=2}^B (s_{n-k}-b_{n-k})\)
\(b_n-b_{n-B}=s_{n-1}-s_{n-B}\)
\(c_n-c_{n-C}=s_{n-1}-s_{n-C}\)

\(\displaystyle b_n-b_{n-CB}=\sum_{k=0}^{C-1}(s_{n-1-kB}-s_{n-B-kB})\)
\(\displaystyle c_n-c_{n-BC}=\sum_{k=0}^{B-1}(s_{n-1-kC}-s_{n-C-kC})\)
\(\displaystyle s_n=s_{n-1}+s_{n-BC}-s_{n-BC-1}
+\sum_{k=0}^{C-1}(s_{n-1-kB}-s_{n-B-kB})
+\sum_{k=0}^{B-1}(s_{n-1-kC}-s_{n-C-kC})\)

\(B=2, C=3\)
\(\displaystyle s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}+s_{n-5}-s_{n-6}-s_{n-7}\)

王守恩

fungarwai 发表于 2021-8-28 20:19
試吓搞埋不能連續B個个或連續C個

\(s_n=a_n+b_n+c_n\)

由数码1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的自然数，
要求:不能有8个2连在一起,不能有5个5连在一起,不能有3个7连在一起,不能有2个8连在一起。
这样的n位数有几个？

S(1)=9
S(2)=80
S(3)=711
S(4)=6319
S(5)=56160
S(6)=499120
S(7)=4435913
S(8)=39424033
S(9)=350379816
S(10)=3113989262
S(11)=27675478671

\(n\ \ \ \ \ \ \ \ \ A(n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B(n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(n)\ \ \ \ \ \ \ D(n)\ \ \ \ \ E(n)\ \ \ \ S(n)\)
\(1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ 9\)
\(2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ 80\)
\(3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{8}{9-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 711\)
\(4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 711\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{72}{80-8}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \frac{8}{9-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 6319\)
\(5\ \ \ \ \ \ \  \ \ \ 6319\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{639}{711-72}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{71}{80-8-1}\ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ 56160\)
\(6\ \ \ \ \ \ \ \ \ 56160\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{5680}{6319-639}\ \ \ \ \ \ \frac{632}{711-71-8}\ \ \ \ \ \ \ \frac{8}{9-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \  \ 499120\)
\(7\ \ \ \ \ \ \ \ 499120\ \ \ \ \ \ \frac{50480}{56160-5680}\ \ \frac{5616}{6319-632-71}\ \ \frac{71}{80-8-1\ \ }\ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ 4435913\)
\(8\ \ \ \ \ \ 4435913\ \ \ \ \ \ \ 448640\ \ \ \ \ \ \ 49912\ \ \frac{631}{711-71-8-1\ \ }\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ 39424033\)
\(9\ \ \ \ \ 39424033\ \ \ \ \ 3987273\ \ \ \ \ 443592\ \ \ \ \ \ 5608\ \ \ \ \ \ \ \frac{8}{9-1}\ \ \ \ 350379816\)
\(10\ \ 350379816\ \ \ 35436760\ \ \ 3942409\ \ \ 49842\ \ \ \ \frac{71}{80-8-1}\ \ 3113989262\)

\(A(n)=S(n-1)\)
\(B(n)=A(n-1)-B(n-1)\)
\(C(n)=A(n-2)-C(n-1)-C(n-2)\)
\(D(n)=A(n-4)-D(n-1)-D(n-2)-D(n-3)-D(n-4)\)
\(E(n)=A(n-8)-E(n-1)-E(n-2)-......-E(n-7)\)
\(S(n)=9A(n)-B(n)-C(n)-D(n)-E(n)\)

王守恩

fungarwai 发表于 2021-8-28 20:19
試吓搞埋不能連續B個个或連續C個

\(s_n=a_n+b_n+c_n\)

下面的题，你是怎样想的？

由数码1,2,3组成的自然数，要求:连续数码的和不等于3，这样的n位数有几个？

LinearRecurrence[{2, 1, 0, -1}, {1, 0, 0, 1}, 34]
{3, 7, 16, 38, 89, 209, 491, 1153, 2708, 6360, 14937, 35081, 82391, 193503, 454460,
1067342, 2506753, 5887345, 13826983, 32473969, 76268168, 179122960, 420687105,
988023201, 2320465339, 5449830919, 12799440072, 30060687862, 70600350457, ...}

王守恩

fungarwai 发表于 2021-8-28 20:19
試吓搞埋不能連續B個个或連續C個

\(s_n=a_n+b_n+c_n\)

谢谢 fungarwai：LinearRecurrence[{3, -1, -1, -1, 1}, {1, 0, 0, 1, 1}, 34]
{3, 7, 16, 38, 89, 209, 491, 1153, 2708, 6360, 14937, 35081, 82391, 193503, 454460,
1067342, 2506753, 5887345, 13826983, 32473969, 76268168, 179122960, 420687105,
988023201, 2320465339, 5449830919, 12799440072, 30060687862, 70600350457, ...}

王守恩

cgl_74 发表于 2021-8-28 14:32
用递归方法进行计数是很有用的方法。而且我发现用递归方程组的形式化方法，可以替代一些复杂逻辑，解出复杂 ...

这绝不是在刷题！这是基本功！
由数码1,2,3组成的自然数，要求:不能有1,3，2,2，1,1,2，1,2,1，2,1,1，1,1,1,1连在一起，
或者说:连续数码的和不等于 4，这样的 n 位数有几个？