求证:(k+2)/3=t

yangchuanju

一条漏网大鱼
太阳先生梦寐以求地多方寻求素数公式，今天怎么把到手的一条大鱼给放走了？

整数a>0,k>0,满足条件式(2^k-2)/k=a的k必定是素数！（起码k小于等于61时k是素数）
整数c>0,k>0,满足条件式(3^k-3)/k=c的k必定是素数！（当k=6时条件式成立，但6不是素数）
若必须同时满足两条件：
整数a>0,c>0,k>0,满足条件式(2^k-2)/k=a,(3^k-3)/k=c的k必定是素数！（起码k小于等于61时k是素数）

思考？至今世上无人找到“素数公式”，难道如此简单的一个或两个条件式真的是素数公式吗？

太阳

\(已知:整数a>0，c>0，m>0，t>0，合数k>0，\frac{2^k-2}{k}=a，\frac{3^k-3}{k}=c，\frac{k}{3}\ne m，求证:\frac{k+2}{3}=t\)
此题证明为真命题，找到素数公式，数学软件验证一些数据没有找到反例

simpley

2465是反例

simpley

simpley 发表于 2021-9-13 10:15
2465是反例

不用了。重在参与

yangchuanju

太阳点评：

k=2821  发表于 2021-9-13 16:56

已验证，2821是合数，2821不是3的倍数。
暂且不说(2^2821-2)/2821,(3^2821-3)/2821是不是整数，即使都是整数，那叫方程式(k+2)/3=t（t是整数）有一个“特解”！特解不是反例，请分清数学概念！

太阳先生的命题是：“求证：(k+2)/3=t”，是证明题，理应证明该代数式始终成立，即使有少数特解使得方程式成立，也不足以说明(k+2)/3=t成立！请注意并分清命题类型！

太阳

k=2465，验证，2465反例

simpley

162401也是反例

yangchuanju

太阳 发表于 2021-9-13 16:36
\(已知:整数a>0，c>0，m>0，t>0，合数k>0，\frac{2^k-2}{k}=a，\frac{3^k-3}{k}=c，\frac{k}{3}\ne m，求证 ...

为什么代数式(2^k-2)/k只在k是素数时才是整数（整除）？
已被验证，存在少量反例。

2^k-2=2*[2^(k-1)-1]，当k大于2时2不能整除k，若能整除则一定发生在2^(k-1)-1因式中。
我们知道，2^p-1之中含有许多素数——梅森素数，其中的指数p是素数。
当k是素数时，k-1一定不再是素数；但当k不是素数时，k-1也可能是素数，也有可能是合数。

当k=1时，2^1-2=0；当k=2时，2^2-2=2；不讨论。
当k=3时，2^3-2=2*(2^2-1)=2*(2-1)*(2+1)=2*1*3=2*3,(2^3-2)/3=2，整除发生；
当k=4时，2^4-2=2*(2^3-1)=2*(2-1)*(2^2+2+1)=2*1*7=2*7,(2^3-2)/4不能整除；
当k=5时，2^5-2=2*(2^4-1)=2*(2^2-1)*(2^2+1)=2*3*5,(2^5-2)/5=30/5=6，整除发生；
当k=6时，2^6-2=2*(2^5-1)=2*(2-1)*(2^5-1)=2*1*(2^4+2^3+2^2+2+1)=2*31,(2^6-2)/6不能整除；
当k=7时，2^7-2=2*(2^6-1)=2*(2^3-1)*(2^3+1)=2*7*9,(2^7-2)/7=2*9=18，整除又发生；
……
上面的几次整除分别发生在k=3,5,7时，加上(2^2-2)/2=2/2=1也是可整除的，
依此猜想（推测）当k是素数时(2^k-2)可以被k整除。
继续验证下去，在k小于等于61时，只有k=11,13,17,19，……61时才可整除；
当k≤61不是素数时均不能整除。

例当k=11时，2^11-2=2046,
2046=P1 * P1 * P2 * P2
P1 = 2
P1 = 3
P2 = 11
P2 = 31
2046可以被11整除。

2^11-2=2*(2^10-1)=2*(2^5-1)*(2^5+1)=2*31*33，33可被11整除，故2^11-2可被11整除。
类似地2^13-2=2*(2^12-1)=2*(2^6-1)*(2^6+1)=2*63*65，65可被13整除，故2^13-2可被13整除。
当k是奇素数时，k-1是偶数，设k-1=2t，则2^k-2=2*[2^(k-1)-1]=2*(2^t-1)*(2^t+1)，
其中第二因式2^t-1=2^(t-1)+2^(t-2)+…+2+1=1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023……，
第三因子2^t+1=3*[2^(t-1)-2^(t-2)+…-2+1]=3,5,9,17,33,65,129,257,513,1025……；
原式的分母k=2t+1含在哪个因式中需视具体情况（数值）确定。

采用同样的方法处理(3^k-3)/k也会得到类似的结论，只有当k是素数时才有整除发生。
请注意：当k=6时(3^6-3)/6=726/6=121整除发生，暂且作为反例处理。
上述两式先行验证至k=61，均成立。

思考：既然(3^k-3)/k存在反例k=6，那么(2^k-2)/k中有没有反例：
(3^k-3)/k中有没有更大的反例？
有没有不是素数的k使得(2^k-2)/k,(3^k-3)/k都能整除？

有人已经验证这样的反例是存在的，当k=2465,2821等合数时(2^k-2)/k,(3^k-3)/k都能整除。
猜想只有当k是素数时(2^k-2)和(3^k-3)可以被k整除不正确！

yangchuanju

大鱼窜网跑掉了，跑就跑了吧，没有什么可吝惜的！
2^n-1之中含有许多素数，此类素数都集中在2^p-1中，式中p是素数，被赋予专用名称——梅森数；
梅森数并非都是素数，其中只有少量素数，又被赋予另一个专有名词——梅森素数。

2^k-2稍加变形就是2^n-1类的数字，因为2^k-2=2*[2^(k-1)-1]，令k-1=n，则2^k-2=2*[2^n-1]；其中没有素数，都是合数（偶数）。这些偶数中有一些含有因子k，有一些不含因子k；即(2^k-2)/k可能是整数，也可能不是整数。
什么情况下(2^k-2)/k是整数呢？（即2^k-2可被k整除）
在小范围内试验（k≤61）表明，当k是素数时，(2^k-2)/k是整数；当k不是素数时，(2^k-2)/k不是整数。
已经被证明，当k取较大的2465和2821等合数时(2^k-2)/k是整数，暂且认为它们是“反例”。

一度认为(2^k-2)/k是一个大家都梦味以求的“素数公式”，其实非也。
且不说其中存在反例，单就(2^k-2)/k而言，它大部分时候不是整数（更不是素数）；只有k是素数时(2^k-2)/k才是整数。
当k是素数时(2^k-2)/k是素数吗？答案是否定的，不是！（有没有(2^k-2)/k型的素数待探讨）
那分子(2^k-2)就更不是素数啦。

既然(2^k-2)和(2^k-2)/k都不是素数，那条大鱼跑就跑了吧，根本没什么可吝惜的！

simpley

2821不是反例，它加2后能被3整除