已知四边形的 3 边和 3 边所夹的 2 角，求四边形面积

王守恩

drc2000再来 发表于 2021-10-25 10:16
若要任意四边形面积,则可将具体数字换成字母进行符号运算

\(四边形，已知\ 3\ 边与\ 3\ 边所夹\ 2\ 角，求面积\ S。\)

\(设\ 3\ 边为\ a,b,c，a,b\ 所夹角为\ 1，b,c\ 所夹角为\ 2，则\)

\(\displaystyle S=\frac{a*b\sin(1)+b*c\sin(2)-c*a\sin(1+2)}{2}\)

公式虽然简单，没有错。不会有反例。谢谢大家！

1，证明过程不复杂(简单的公式,证明肯定不会复杂)

2，三角形,正方形,长方形,平行四边形面积公式都可以归拢到这里来

3，梯形用这个面积公式也可以，别有一番风味。

4，稍加琢磨，五边形面积也可以出来。

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-26 13:32
\(四边形，已知\ 3\ 边与\ 3\ 边所夹\ 2\ 角，求面积\ S。\)

\(设\ 3\ 边为\ a,b,c，a,b\ 所夹角为\ ...

四边形，已知 3 边与 3 边所夹 2 角，求面积 S。

设 3 边为 a,b,c，a,b 所夹角为 1，b,c 所夹角为 2，则

\(\ S=\frac{a*b\sin(1)+b*c\sin(2)-c*a\sin(1+2)\ \ }{2}\)

公式虽然简单，没有错。不会有反例。谢谢大家！

1，证明过程不复杂(简单的公式,证明肯定不会复杂)

2，三角形,正方形,长方形,平行四边形面积公式都可以归拢到这里来

3，梯形用这个面积公式也可以，别有一番风味。

4，稍加琢磨，五边形面积,六边形面积也可以出来。

走过路过的，给点资料！谢谢！

drc2000再来

'''设 3 边为 a,b,c，a,b 所夹角为 1，b,c 所夹角为 2，则'...
   
现在讲清楚了,

王守恩

四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2,   求证：四边形的最大面积 < n(n+1)。

1,四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2 时，四边形的最大面积 =\(\sqrt{(n-1)*n*(n + 1)*(n + 2)}\)

2,当\(a(n) =\sqrt{(n-1)*n*(n + 1)*(n + 2) + 1}\)时，可以是下面的数字串：

{1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419, 461,505, 551,
599, 649, 701, 755, 811, 869, 929, 991, 1055, 1121, 1189, 1259, 1331, 1405, 1481, 1559, 1639,1721,
1805, 1891, 1979, 2069, 2161, 2255, 2351, 2449, 2549, 2651, 2755, 2861, 2969, 3079, 3191, ......

3,四边形的最大面积 < n(n+1) < n(n+1)-1

王守恩

四边形的四边长度为3,4,5,6,  已知四边形的面积=18,  这样的四边形有多少个？

这样的四边形有6个。

3种可能(3的对面只能是4,5,6),  每种可能2个解,共6个解。

a,b,c,d=4条边,    A,B,C,D=4个角。A+B+C+D=360

\(\frac{a*b\sin(A)+c*d\sin(C)}{2*18}=\frac{b*c\sin(B)+d*a\sin(D)}{2*18}=\frac{a^2+b^2-2a*b\cos(A)}{c^2+d^2-2c*d\cos(C)}=\frac{b^2+c^2-2b*c\cos(B)}{d^2+a^2-2d*a\cos(D)}=1\)

王守恩

谢谢 nyy！有道理！不需要4个方程。

这样的四边形有6个。

3种可能(3的对面只能是4,5,6),每种可能2个解,共6个解。  

a,b,c,d=4条边,    A,C=2个对角。

\(\frac{a*b\sin(A)+c*d\sin(C)}{2*18}=\frac{a^2+b^2-2a*b\cos(A)}{c^2+d^2-2c*d\cos(C)}=1\)

1. Table[Solve[{(a*b*Sin[A] + c*d*Sin[C])/(2*18) ==
   
2. (a^2 + b^2 - 2 a*b*Cos[A])/(c^2 + d^2 - 2 c*d*Cos[C]) == 1,
   
3. \[Pi]>A>0,\[Pi]>C>0},{A,C}],{a,3,3},{b,4,4},{c,5,5},{d,6,6}]//FullSimplify
   
4. {{{{{{A->\[Pi]/2,C->ArcTan[4/3]},{A->\[Pi]-ArcTan[3/4],C->ArcTan[24/7]}}}}}}

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